數學中，施萊夫利符號(Schläfli symbol)是一個可以表示一特定正多胞體若干重要特性的符號。其命名是為了紀念19世紀數學家路德維希·施萊夫利在幾何和其他領域的許多重要貢獻。
基本介紹
- 中文名：施萊夫利符號
- 外文名：Schläfli symbol
- 性質：若干重要特性的符號
- 意義：紀念數學家路德維希施萊夫利
符號簡介,正多邊形,星形多邊形,星芒形,正多面體,正多胞體,五維及更高維的正多胞形,各種正多胞形的施萊夫利符號,零維,一維,二維,三維,四維,五維,更高,
符號簡介
正多邊形
一個有n個邊的多邊形，其施萊夫利符號為{n}。例如，施萊夫利符號為{5}的多邊形即為五邊形。
星形多邊形
星形多邊形(Star polygon)指的是正非凸多邊形，即邊長相等的凹多邊形或複雜多邊形。星形多邊形的施萊夫利符號若為{p/q}，表示此一星形多邊形有p的角，每一個角都和次q的角相連。因此{5/2}即代表的是五芒星。
星芒形
當p和q不互質時，此時的星形多邊形即稱為星芒形(star figure)。若p跟q的最大公因子為n，此一星芒形即是由n個{p/n/q/n}相互旋繞而成。例如，{6/2}，即六芒星（也稱作2{3}），便是由兩個三角形{3/1}所組成的，而{10/4}則是由兩個五芒星所組成。
星芒形一般不會用在更高維的星形多面體與星形多胞體上，它實際上是一種複合多邊形/複合星形多邊形，而非“星形多邊形”。它的三維類比是Stellation，即複合多面體/複合星形多面體——而這個Stellation是不會用施萊夫利符號表示的
正多面體
“正多面體的施萊夫利符號計做{p,q}，其中p代表每個面的頂點數，而q代表每個頂點和幾個面相連”
——摘自中文wiki（居然只是很不厚道地摘取最簡單的，四維以後的卻沒有寫進去）
在正多面體{p,q}中，p可以說是表示每個面是正p邊形，q可以說是表示每個頂點的情況，也表示頂點圖是正q邊形。
如正十二面體的施萊夫利符號是{5,3}，表示立方體的表面由正【5】邊形構成，圍繞任意一個點轉一圈會划過【3】個正5邊形（每個頂點和【3】個面相連）正多面體
正多胞體
在四維空間中，一個正多胞體用符號{p,q,r}表示。
其中{p,q}表示組成這個正多胞體三維表面(Facet)，當然{p,q}是正多面體；{q,r}表示每個頂點的情況，即頂點圖(Vertex Figure)**；{r}是Edge Figure，表示每條棱的情況，與三維一樣類比過來，簡單地說r表示的是每條棱與多少個三維胞相連
如超立方體的施萊夫利符號是{4,3,3}，表示它的表面由立方體{4,3}構成，它的頂點圖是正四面體{3,3}，每條棱與【3】（{3,3}的第二個“3”）個立方體相連
五維及更高維的正多胞形
在更高維的空間裡，可以通過四維空間的施萊夫利符號的表示意義進行類比
一個n維空間的正多胞形(Regular n-polytope)用施萊夫利符號{p1,p2,...,pn-2,pn−1}表示，其中{p1,p2,...,pn−2}表示構成它的n-1維正多胞形；而{p2,p3,...,pn−1}則表示它的頂點圖
事實上五維以及更高的維度中，每個維只有三個正多胞形，分別是
n-單形(n-simplex):{3,3,...,3}，縮寫{3^n-1}（符號中有n-1個3，下同），自身對偶
n-正方體(n-cube):{4,3,3,...,3}，縮寫{4,3^n-2}，n-cross對偶
n-正軸體(n-cross)（其實這個沒有中文翻譯，名字來自日語）:{3,3,...,3,4}，縮寫{3^n-2,4}
各種正多胞形的施萊夫利符號
零維
點： .
一維
線段：{}
二維
正多邊形與星形正多邊形（∞）
如果p>2且p是整數，則有{p}為正多邊形
如果p>2q≥2且p與q互質，則有{p/q}為星形正多邊形
歐式一維正鑲嵌（一種）
正無窮邊形：{∞}
三維
正多面體（五種）
正四面體：{3,3}
立方體：{4,3}
正八面體：{3,4}
正十二面體：{5,3}
正二十面體：{3,5}
星形正多面體（四種）
小星形十二面體：{5/2,5}
大十二面體：{5,5/2}
大星形十二面體：{5/2,3}
大二十面體：{3,5/2}
歐式（平面）正鑲嵌（三種）
正六邊形平面鑲嵌：{6,3}
正方形平面鑲嵌：{4,4}
正三角形平面鑲嵌：{3,6}
雙曲正鑲嵌與星形雙曲正鑲嵌（∞）
當2p+2q<pq，且p,q為正整數時，則有{p,q}為雙曲正鑲嵌
當m>6且m為奇數時，則有{m,m/2}和{m/2,m}為星形雙曲正鑲嵌
四維
正多胞體（六種）
正五胞體：{3,3,3}
超正方體：{4,3,3}
正十六胞體：{3,3,4}
正二十四胞體：{3,4,3}
正一百二十胞體：{5,3,3}
正六百胞體：{3,3,5}
星形正多胞體（十種）
（星形正多胞體的幾何用語非常難翻譯，個人把Grand譯為“重”）
Icosahedral 120-cell（二十面體形一百二十胞體）：{3,5,5/2}
Small stellated 120-cell（小星形一百二十胞體）：{5/2,5,3}
Great 120-cell（大一百二十胞體）：{5,5/2,5}
Grand 120-cell（重一百二十胞體）：{5,3,5/2}
Great stellated 120-cell（大星形一百二十胞體）：{5/2,3,5}
Grand stellated 120-cell（重星形一百二十胞體）：{5/2,5,5/2}
Great grand 120-cell（重大一百二十胞體）：{5,5/2,3}
Great icosahedral 120-cell（二十面體形大一百二十胞體）：{3,5/2,5}
Grand 600-cell（大六百胞體）：{3,3,5/2}
Great grand stellated 120-cell（重大星形一百二十胞體）：{5/2,3,3}
歐式三維正堆砌（一種）
立方體正堆砌：{4,3,4}
雙曲三維正堆砌（四種）
考慮到這種雙曲堆砌的組成和頂點圖只能是正多面體（不能是正鑲嵌），故只有有限種
（order-n是翻譯作n-階嗎？）
3階正二十面體正堆砌：{3,5,3}
5階立方體正堆砌：{4,3,5}
4階正十二面體正堆砌：{5,3,4}
5階正十二面體正堆砌：{5,3,5}
五維
五維正多胞形（三種）
五維正單形(Hexateron)：{3,3,3,3}
五維正方形(Penteract，Decateron)：{4,3,3,3}
五維正軸形(Pentacross，Triacontakaiditeron)：{3,3,3,4}
歐式四維正堆砌（三種）
超正方體正堆砌：{4,3,3,4}
正十六胞體正堆砌：{3,3,4,3}
正二十四胞體正堆砌：{3,4,3,3}
雙曲四維正堆砌（五種）
考慮到這種雙曲堆砌的組成和頂點圖只能是正多面體（不能是正鑲嵌），故只有有限種
（order-n是翻譯作n-階嗎？）
3階正一百二十胞體正堆砌：{5,3,3,3}
5階正五胞體正堆砌：{3,3,3,5}
4階正一百二十胞體正堆砌：{5,3,3,4}
5階超正方體正堆砌：{4,3,3,5}
5階正一百二十胞體正堆砌：{5,3,3,5}
星形雙曲四維正堆砌（四種）
3階小星形一百二十胞體正堆砌：{5/2,5,3,3}
5/2階正六百胞體正堆砌：{3,3,5,5/2}
5階二十面體形一百二十胞體正堆砌：{3,5,5/2,5}
3階大一百二十胞體正堆砌：{5,5/2,5,3}
更高
更高維的正多胞形（均三種）
n-單形(n-simplex)：{3,3,...,3}，縮寫{3^n-1}（符號中有n-1個3，下同），自身對偶
n-正方體(n-cube)：{4,3,3,...,3}，縮寫{4,3^n-2}，與n-cross對偶
n-正軸體(n-cross)：{3,3,...,3,4}，縮寫{3^n-2,4}，與n-cube對偶
更高維的歐式正堆砌（均一種）
n維正方體正堆砌：{4,3,…,3,4}，縮寫{4,3^n-2,4}，自身對偶
