基本介紹
- 中文名：數值法
- 外文名：numerical method
簡介,直接法疊代法,離散化,
簡介
數值分析的目的是設計及分析一些計算的方式，可針對一些問題得到近似但夠精確的結果。以下是一些會用利用數值分析處理的問題：
數值天氣預報中會用到許多先進的數值分析方法。
計算太空船的軌跡需要求出常微分方程的數值解。
汽車公司會利用電腦模擬汽車撞擊來提升汽車受到撞擊時的安全性。電腦的模擬會需要求出偏微分方程的數值解。
對沖基金會利用各種數值分析的工具來計算股票的市值及其變異程度。
航空公司會利用複雜的最佳化算法決定票價、飛機、人員分配及用油量。此領域也稱為作業研究。
保險公司會利用數值軟體進行精算分析。
直接法疊代法
疊代法是通過從一個初始估計出發尋找一系列近似解來解決問題的數學過程。和直接法不同，用疊代法求解問題時，其步驟沒有固定的次數，而且只能求得問題的近似解，所找到的一系列近似解會收斂到問題的精確解。會利用審斂法來判別所得到的近似解是否會收斂。一般而言，即使使用無限精度算術的計算方式，疊代法也無法在有限次數內得到問題的精確解。直接法利用固定次數的步驟求出問題的解。這些方式包括求解線性方程組的高斯消去法及QR算法，求解線性規劃的單純形法等。若利用無限精度算術的計算方式，有些問題可以得到其精確的解。不過有些問題不存在解析解（如五次方程），也就無法用直接法求解。在電腦中會使用浮點數進行運算，在假設運算方式穩定的前提下，所求得的結果可以視為是精確解的近似值。
在數值分析中用到疊代法的情形會比直接法要多。例如像牛頓法、二分法、雅可比法、廣義最小殘量方法（GMRES）及共軛梯度法等。在計算矩陣代數中，大型的問題一般會需要用疊代法來求解。
離散化
許多時候需要將連續模型的問題轉換為一個離散形式的問題，而離散形式的解可以近似原來的連續模型的解，此轉換過程稱為離散化。例如求一個函式的積分是一個連續模型的問題，也就是求一曲線以下的面積若將其離散化變成數值積分，就變成將上述面積用許多較簡單的形狀（如長方形、梯形）近似，因此只要求出這些形狀的面積再相加即可。
例如在二小時的賽車比賽中，記錄了三個不同時間點的賽車速度，如下表
| 時間 | 0:20 | 1:00 | 1:40 |
|---|---|---|---|
| km/h | 140 | 150 | 180 |
