近二十多年，已經相繼提出了很多構造小波及其濾波器組的方法，為信號處理和工程套用領域提供了豐富多樣的小波種類，如正交小波、半正交小波和雙正交小波等。
基本介紹
- 中文名：提升小波
- 外文名：lifting wavelet
這些方法大多數在頻域中構造，過程較複雜。1995年，貝爾實驗室的Sweldens W.博士提出了一種全新的在時域中採用提升方法(lifting scheme)構造小波的第二代小波(second generation wavelet)方法。相對於Mallat塔形算法而言，第二代小波方法是一種更為快速有效的小波變換實現方法，它的優勢有以下四點：(1)它不依賴於Fourier變換，完全在時域中完成對雙正交小波的構造，具有結構化設計和自適應構造方面的突出優點；(2)構造方法靈活，可以從一些簡單的小波函式，通過提升改善小波函式的特性，從而構造出具有期望特性的小波；(3)不再是某一給定小波函式的伸縮和平移，它適合於不等間隔採樣問題的小波構造；(4)算法簡單，運算速度快、占用記憶體少，執行效率高，可以分析任意長度的信號。
1998年，Daubechies和Sweldens證明任意具有有限衝擊回響濾波器(FIR)的離散小波變換都可以通過一系列簡單的多步提升步驟來解決。這一結論建立起了第一代小波變換和第二代小波變換之間的聯繫，即所有能夠用Mallat快速算法實現的離散小波變換都可以用第二代小波方法來實現。目前，第二代小波已具有多種構造方法，包括基於提升方法的第二代小波構造、自適應第二代小波構造、冗餘第二代小波構造、自適應冗餘第二代小波構造等等。在故障診斷等眾多領域得到廣泛套用。
提升步驟：
1）步驟由提升構成第二代小波變換的過程分為如下3個步驟：
(1)分裂
分裂(Split)是將原始信號sj={sj，k}分為兩個互不相交的子集和。每個子集的長度是原子集的一半。通常是將一個數列分為偶數序列ej-1和奇數序列oj-1，即Split(sj)=(ej-1,oj-1) 。
其中，ej-1={ej-1,k=sj,2k}，oj-1={oj-1,k=sj,2k+1}。
(2)預測
預測(Predict)是利用偶數序列和奇數序列之間的相關性，由其中一個序列（一般是偶序列ej-1）來預測另一個序列（一般是奇序列oj-1）。實際值oj-1與預測值P(ej-1)的差值dj-1反映了兩者之間的逼近程度，稱之為細節係數或小波係數，對應於原信號sj的高頻部分。一般來說，數據的相關性越強，則小波係數的幅值就越小。如果預測是合理的，則差值數據集dj-1所包含的信息比原始子集oj-1包含的信息要少得多。預測過程如下：
dj-1=oj-1–P(ej-1)
其中，預測運算元P可用預測函式Pk來表示，函式Pk可取為ej-1中的對應數據本身：
Pk(ej-1,k)=ej-1,k=sj,2k
或ej-1中的對應數據的相鄰數據的平均值：
Pk(ej-1)=(ej-1,k+ej-1,k+1)/2=(sj,2k+sj,2k+1)/2
或其他更複雜的函式。
(3)更新
經過分裂步驟產生子集的某些整體特徵(如均值)可能與原始數據並不一致，為了保持原始數據的這些整體特徵，需要一個更新(Update)過程。將更新過程用運算元U來代替，其過程如下：
sj-1=ej-1+U(dj-1)
其中，sj-1為sj的低頻部分；與預測函式一樣，更新運算元也可以取不同函式，
如Uk(dj-1)=dj-1,k/2或Uk(dj-1)=(dj-1,k-1+dj-1,k)/4+1/2。
P與U取不同的函式，可構造出不同的小波變換。
2)分解與重構經過小波提升，可將信號sj分解為低頻部分sj-1和高頻部分dj-1；對於低頻數據子集sj-1可以再進行相同的分裂、預測和更新，把sj-1進一步分解成dj-2和sj-2；…；如此下去，經過n次分解後，原始數據sj的小波表示為{sj-n,dj-n,dj-n+1,…,dj-1}。其中sj-n代表了信號的低頻部分而{dj-n,dj-n+1,…,dj-1}則是信號的從低到高的高頻部分系列。
每次分解對應於上面的三個提升步驟——分裂、預測和更新：
Split(sj)=(ej-1,oj-1)，dj-1=oj-1–P(ej-1)，sj-1=ej-1+U(dj-1)
小波提升是一個完全可逆的過程，其反變換的步驟如下：
ej-1=sj-1-U(dj-1)，oj-1=dj-1+P(ej-1)，sj=Merge(ej-1,oj-1)
下圖是提升小波算法的分解重構示意圖：
提升算法步驟流程圖
提升算法步驟流程圖