《拋物平均曲率型問題及相應流的收斂問題》是依託中山大學，由邢瑞香擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：拋物平均曲率型問題及相應流的收斂問題
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：邢瑞香
- 依託單位：中山大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目旨在研究拋物平均曲率型方程解的定性行為。研究的問題包括方程右端非線性為各種冪或指數增長情況下解存在性和唯一性，解的爆破與熄滅現象，以及拋物流全局存在性和收斂到穩定狀態，利用流結合臨界點理論研究相應橢圓問題解的多重性等。這些問題對於半線性拋物方程已經被廣泛研究。拋物平均曲率型方程是擬線性非一致橢圓的，不像半線性問題中有半群工具，因而獲取各種先驗估計更困難。它和半線性問題相比，還有許多的空白，是一個亟待研究的領域。拋物平均曲率型方程與許多幾何,物理背景和圖像處理的問題密切相關，解的穩定狀態描述了預定平均曲率的曲面，以及毛細現象中的各種懸滴和躺滴的形態。通過相應拋物流的研究，可以幫助人們更好的理解這些幾何對象和物理狀態。
結題摘要
拋物平均曲率型方程與許多幾何、物理背景和圖像處理的問題密切相關，例如解的穩定狀態描述了預定平均曲率的曲面以及毛細現象中的各種懸滴和躺滴的形態。在這個項目中，我們獲得了一些關於橢圓型和拋物型平均曲率方程的新的有趣的結果。對於發展型的毛細方程，我們顯示了這種拋物平均曲率方程存在一種特殊的雙爆破現象；我們發展了高維平均曲率型方程的上下解方法，這種結果能被用來證明某些拋物問題的全局解收斂到唯一的極小解；我們也研究了帶奇性的旋轉對稱曲率流，問題來自最近出現在微機電系統中的控制器模型，我們對不同的參數和初值得到了流的收斂性和有限時刻熄滅性結果；我們也改進了更早的關於高階系統的爆破速率和Liouville型定理的結果。由於在研究拋物方程解的長時間行為時，我們希望知道儘可能多的關於穩態問題解的信息，所以除了前面所說的拋物型方程的結果，我們還獲得了許多關於橢圓型方程的結果，包括一維平均曲率方程古典解和非古典解的精確個數以及全局分支曲線，高維問題解的存在性與非存在性結果。這些研究結果已經受到了一些國內外同行的關注，論文陸續被許多學者所引用。
