拉蓋爾多項式

在數學中，以法國數學家埃德蒙·拉蓋爾（英語：Edmond Laguerre）命名的拉蓋爾多項式定義為拉蓋爾方程的標準解。拉蓋爾多項式，是一列常見的定義於非負實數集上的正交多項式，是伴隨於Gamma分布密度函式的正交多項式，在量子力學，統計學等方面有重要套用。

基本介紹

• 中文名：拉蓋爾多項式
• 外文名：Laguerre polynomial
• 符號表示：Ln（x）
• 性質：正交表達式
• 命名者：埃德蒙·拉蓋爾
• 套用學科：量子力學，統計學

定義

在數學中，拉蓋爾多項式定義為拉蓋爾方程的標準解。下列為拉蓋爾方程：

此方程只有當n為非負時才有非平凡解。 是拉蓋爾方程的正則奇點。在 及其鄰域上為有限的級數解是

級數的收斂半徑為無限大。

如n為整數，解y（x）退化為n次多項式。用適當的常數乘這些多項式，使最高次冪項成為 就叫作拉蓋爾多項式，記作 ，

拉蓋爾多項式由羅德里格公式推導出公式，如下：

它可以用遞推關係表達，如下：

拉蓋爾多項式的遞推關係也可以表現為：

此多項式是區間 上函式全體按照如下定義內積時的標準正交多項式：

廣義

定義

稱在 上伴隨核函式 的標準正交多項式為廣義拉蓋爾多項式，記為 。廣義拉蓋爾多項式也可以由如下的羅德里格公式給出：

當 時，廣義拉蓋爾多項式退化為標準拉蓋爾多項式。

廣義拉蓋爾多項式有如下解析表達式：

廣義拉蓋爾多項式有如下遞推關係：

性質

正交性：

平方積分：

相關恆等式

關於一般拉蓋爾多項式和拉蓋爾多項式，可以得到以下兩個恆等式：

定理1：設 是一般拉蓋爾多項式，那么， 及 ,當 時，有恆等式

其中， 。

定理2：設 是拉蓋爾多項式，那么， 及 ，有恆等式