拉格朗日運算元

在數學中的最最佳化問題中，拉格朗日乘數法（以數學家約瑟夫·拉格朗日命名）是一種尋找多元函式在其變數受到一個或多個條件的約束時的極值的方法。這種方法可以將一個有n個變數與k個約束條件的最最佳化問題轉換為一個解有n + k個變數的方程組的解的問題。這種方法中引入了一個或一組新的未知數，即拉格朗日乘數，又稱拉格朗日乘子，或拉氏乘子，它們是在轉換後的方程，即約束方程中作為梯度（gradient）的線性組合中各個向量的係數。

基本介紹

• 中文名：拉格朗日運算元
• 外文名：Lagrange multiplier
• 別稱：拉格朗日乘數、拉格朗日乘子
• 領域：數學

方法介紹

在數學中的最最佳化問題中，拉格朗日乘數法（以數學家約瑟夫·拉格朗日命名）是一種尋找多元函式在其變數受到一個或多個條件的約束時的極值的方法。這種方法可以將一個有n個變數與k個約束條件的最最佳化問題轉換為一個解有n+k個變數的方程組的解的問題。這種方法中引入了一個或一組新的未知數，即拉格朗日乘數，又稱拉格朗日乘子，或拉氏乘子，它們是在轉換後的方程，即約束方程中作為梯度（gradient）的線性組合中各個向量的係數。

比如，要求 在 時的最大值時，我們可以引入新變數拉格朗日乘數 ，這時我們只需要下列拉格朗日函式的極值：

更一般地，對含n個變數和k個約束的情況，有：

拉格朗日乘數法所得的極點會包含原問題的所有極值點，但並不保證每個極值點都是原問題的極值點。拉格朗日乘數法的正確性的證明牽涉到偏微分，全微分或鏈法。

微積分中最常見的問題之一是求一個函式的極大極小值（極值）。但是很多時候找到極值函式的顯式表達是很困難的，特別是當函式有先決條件或約束時。拉格朗日乘數則提供了一個非常便利方法來解決這類問題，而避開顯式地引入約束和求解外部變數。

先看一個二維的例子：假設有函式： ，要求其極值（最大值/最小值），且滿足條件

c為常數。對不同 的值，不難想像出

的等高線。而方程 的可行集所構成的線正好是 。想像我們沿著 的可行集走；因為大部分情況下 的等高線和 的可行集線不會重合，但在有解的情況下，這兩條線會相交。想像此時我們移動 上的點，因為 是連續的方程，我們因此能走到 更高或更低的等高線上，也就是說可以變大或變小。只有當和相切，也就是說，此時，我們正同時沿著和走。這種情況下，會出現極值或鞍點。

氣象圖中就很常出現這樣的例子，當溫度和氣壓兩列等高線同時出現的時候，切點就意味著約束極值的存在。

用向量的形式來表達的話，我們說相切的性質在此意味著和的切線在某點上平行，同時也意味著兩者的梯度平行。此時引入一個未知標量，並求解：

且λ≠ 0.

一旦求出的值，將其套入下式，易求在無約束條件下的極值和對應的極值點。

新方程在達到極值時與相等，因為達到極值時總等於零。

證明

設函式在點處有極值，且在點的鄰域內連續。則在點處有

另有一常值函式

二函式在點處的全微分為

由於和是任取的無窮小量，故該線性方程組的係數成比例，有

即：

將上二式分別乘以和，再相加並積分，得到一新函式

那么，求原函式極值的問題就轉化為求該函式極值的問題。

類似地，這種求極值的方法也可以推廣到多維函式。

運用方法

如f定義為在R上的方程，約束為g_k(x)=c_k（或將約束左移得到g_k(x)−c_k=0）。定義拉格朗日Λ為

注意極值的條件和約束現在就都被記錄到一個式子裡了：

和

拉格朗日乘數常被用作表達最大增長值。原因是從式子：

中我們可以看出λ_k是當方程在被約束條件下，能夠達到的最大增長率。拉格朗日力學就使用到這個原理。

拉格朗日乘數法在卡羅需－庫恩－塔克條件被推廣。

經濟學

約束最最佳化在經濟學占有很重要的地位。例如一個消費者的選擇問題可以被視為一個求效用方程在預算約束下的最大值問題。拉格朗日乘數在經濟學中被解釋為影子價格，設定在某種約束下，在這裡即收入的邊際效用。

拉格朗日乘數就是效用函式在最優解處對收入的偏導數，也就是在最優解處增加一個單位收入帶來的效用增加，或者說在最優解處有效用衡量收入的價值，稱之為收入的邊際效用。

在企業生產問題中，拉格朗日乘數用來衡量要素投入變動所帶來的收入變動，λ表示效用函式或生產函式，m表示收入或要素投入。

在具體數學推導中還可以運用包絡定理的內容。

參考

• 卡羅需－庫恩－塔克條件：拉格朗日乘數的推廣。
  
• 拉格朗日方程式
  
• 哈密頓原理
  
• 作用量