恆等函式

在數學裡，恆等函式為一無任何作用的函式：它總是傳回和其引數相同的值。換句話說，恆等函式為函式f(x) = x，輸入等於輸出。

基本介紹

• 中文名：恆等函式
• 外文名：Identity function
• 性質：輸入等於輸出
• 領域：數學
• 公式：f(x)=x

定義

設 為一集合，於 上的恆等函式 被定義於一具有定義域和陪域 的函式，其對任一 內的元素 ，會有 的關係。於 上的恆等函式 通常標記為 或 。

代數性質

設 為任一函式，則會有 其中" "為函式複合)。特別地是， 會是所有由 至 的函式所組成之么半群的單位元。，

因為么半群的單位元是唯一的，可以以 上的單位元來替代其恆等函式的定義。此一定義廣義化成了於範疇論中恆等態射的概念，其中 的自同態並不必然要是個函式。

恆等函式 是 到 函式，即 ，稱之為恆等函式。顯然，對 ，有 。

例子

1) 於正整數上的恆等函式為一數論中的完全積性函式。

2) 在一 維向量空間內，恆等函式表示成單位矩陣 ，不論其基為何。

3) 在一度量空間，恆等函式很當然地為等距同構。一無任何對稱的物件會有一對稱群，即只包含這個恆等函式的平凡群 。