微分形式Lp空間運算元範數不等式的研究

《微分形式Lp空間運算元範數不等式的研究》是依託哈爾濱理工大學，由畢卉擔任項目負責人的數學天元基金項目。

基本介紹

• 中文名：微分形式Lp空間運算元範數不等式的研究
• 項目類別：數學天元基金項目
• 項目負責人：畢卉
• 依託單位：哈爾濱理工大學

項目摘要

作為數學的核心學科之一，調和分析對偏微分方程理論的套用尤為突出。特別是最近十幾年，利用調和分析的方法來研究一類用微分形式表示的偏微分方程正逐漸受到關注。然而，對其相應的運算元理論的研究才剛剛開始。因此，從調和分析的角度建立微分形式的運算元理論無論是對微分形式還是對偏微分方程的發展都具有重要的意義。本項目主要致力於研究：1. 探討將調和分析中一些經典運算元推廣到微分形式的可行性及在微分形式Lp空間的有界性；2. 利用二進Haar移位運算元，Bellman函式技術和雙權範數不等式，計算或估計同倫運算元、Green運算元、位勢運算元和Beurling-Ahlfors運算元等的Lp-範數，建立更嚴格的範數不等式；3. 結合退化橢圓方程的非線性位勢理論，明確微分形式A-調和方程弱解的性質，為進一步研究微分形式A-調和方程弱解的正則性和可積性及完善微分形式運算元理論提供理論基礎。

結題摘要

近年來，微分形式Lp理論在擬正則映射和偏微分方程等許多領域得到了套用。與此同時，對微分形式運算元理論的研究以及對微分形式幾何空間的刻畫正逐步展開。本項目針對Green運算元與同倫運算元的複合運算元以及Beurling-Ahlfors運算元在關於微分形式的加權Lp空間以及Sobolev空間的範數進行了研究。對於複合運算元，以往所得到的加權範數不等式僅對A-調和方程的解成立，而我們所建立的局部及全局範數估計則適用於Lp空間中的任意微分形式。我們首先證明了關於複合運算元的加權局部Lp範數不等式，然後利用Whitney覆蓋，將這一不等式發展到了全局，證明了複合運算元在加權Lp（n小於 p小於∞）空間的有界性。 進而得到了複合運算元在加權(1,p)-Sobolev空間上的一個嵌入不等式。然後我們又針對一個特殊的Young函式類，建立了複合運算元在關於微分形式Orlicz-Sobolev空間上的一個嵌入不等式。對於Beurling-Ahlfors運算元，我們研究了在一類更一般的測度空間上將運算元作用於非齊次A-調和方程的解的加權範數比較不等式，進而對Beurling-Ahlfors運算元得到了一個局部加權的Orlicz範數不等式，並將這個局部不等式推廣到了Lφ-平均域上。這些結果豐富了微分形式運算元理論，為進一步研究A-調和方程弱解的正則性和可積性提供了理論基礎。