《橢圓方程組中的向量分析》是依託同濟大學，由項杏飛擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：橢圓方程組中的向量分析
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：項杏飛
- 依託單位：同濟大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
帶有散度運算元和旋度運算元的不等式在電磁場的數學理論中有廣泛的套用。本項目首先在三維有界區域對給定合適邊界條件的向量場建立若干類 Hardy 型不等式。這些不等式在 L^1 空間和一般 L^p 空間、向量場情形和標量函式情形都會有很大的不同。隨後我們將套用 L^1 空間上向量場的 Hardy 型不等式建立某一類橢圓方程組解的帶權重的內部估計和邊界估計。最後本項目將考察向量場 Hardy 型不等式成立時的最佳常數和餘項問題，這是對帶有旋度運算元的奇異擬線性橢圓方程組的特徵值問題的研究。. 本項目的研究對完善 L^1 空間上、與向量場散度和旋度運算元相關的 Hardy 型不等式理論有重要作用，為若干與向量場相關的方程組建立解的局部估計和邊界估計提供理論基礎，而且也豐富帶有旋度運算元的奇異擬線性橢圓方程組的理論。本項目的研究對刻畫單個橢圓方程和橢圓方程組解的不同性質有重要意義。
結題摘要
(1)本項目考慮了與向量場散度運算元和旋度運算元相關的Hardy不等式。我們證明：對於在邊界上的切向分量為0的向量場 的L1範數可被其散度的某個帶權L1範數和旋度的L1範數所控制。我們也建立了相應的Hardy不等式的Lp估計。(2)向量場在Lorentz空間L(3/2,1) 上的估計。我們證明：對於在邊界上切向分量或法向分量為0的向量場，它的Lorentz空間L(3/2,1) 範數可被其散度和旋度在有界區域上的Hardy空間的範數所控制。(3) 我們考慮了某個帶有旋度運算元的偏微分方程組，它來源於第II類超導體Meissner態和渦旋態的數學理論：當Ginzburg-Landau參數趨於無窮大時，Ginzburg-Landau模型的一個極限形式。我們證明解的最大值點由所給邊界的切向分量的最大值點以及給定區域邊界的法曲率所確定；當區域是凸的時候，我們得到了解的最大模估計；當區域是外區域的時候，我們證明了解的存在性並證明了解的指數衰減性。 本項目的研究對完善 L^1 空間上、與向量場散度和旋度運算元相關的 Hardy 型不等式理論有重要作用，本項目的研究對刻畫單個橢圓方程和橢圓方程組解的不同性質有重要意義。
