基本介紹
- 中文名：循環代數
- 外文名：cyclic algebras
- 領域：代數
- 定義：特殊的有限中心單代數
- 單代數：與群論中單群類相對應的基本環類
- 套用領域：結合代數
代數,單代數,循環代數概念,相關人物簡介,布饒爾,哈賽,諾特,循環代數套用,
代數
代數是數學的一門分科，研究代數方程或代數方程組運算的學科。人們在實踐中發現了數以及數的運算規律和性質以後，進而用字母代表數，研究數與字母之間的運算規 律。將廣泛的、複雜的實際問題歸結 為代數方程或代數方程組加以解決。代數在數學分析、幾何學和物理學等學科中占有極重要的地位。代數和其他學科相結合，產生了一些新的數學學科，諸如代數幾何、代數數論等。
設K為一交換體。 把K上的向量空間E叫做K上的代數，或叫K-代數，如果賦以從E×E到E中的雙線性映射.換言之，賦以集合E由如下三個給定的法則所定義的代數結構：
——記為加法的合成法則(x，y)↦x+y;
——記為乘法的第二個合成法則(x，y)↦xy;
——記為乘法的從K×E到E中的映射(α，x)↦αx，這是一個作用法則;
這三個法則滿足下列條件：
a) 賦以第一個和第三個法則，E則為K上的一個向量空間;
b) 對E的元素的任意三元組(x，y，z)，有：
x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;
c)對K的任一元素偶(α，β)及對E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).
設A為一非空集合. 賦予從A到K中的全體映射之集ℱ(A，K)以如下三個法則：
則ℱ(A， K)是K上的代數， 自然地被稱為從A到K中的映射代數.當A=N時， 代數ℱ(A，K)叫做K的元素序列代數.
無論是在代數還是在分析中，代數結構都是最常見到的結構之一。十九世紀前半葉末，隨著哈密頓四元數理論的建立，非交換代數的研究已經開始。在十九世紀下半葉，隨著M.S.李的工作，非結合代數出現了。 到二十世紀初，由於放棄實數體或複數體作為運算元域的限制，代數得到了重大擴展。
單代數
單代數又叫單環，是與群論中單群類相對應的基本環類。一個環(代數)R，若只有平凡理想(即除R和零理想外不含其他理想)，則稱R為弱單環或單純環(弱單代數)。弱單環(弱單代數)可分兩類：一類是R≠0，此類環(代數)稱為單環(單代數)，它的冪零根為零；另一類是R=0，R稱為零乘環，它的冪零根是R本身。域F上的全矩陣環是單環，也是F上的單代數。F上有限維單代數必含單位元。
循環代數概念
循環代數(cyclic algebras)是特殊的有限中心單代數。一個有限中心單代數A，若它有嚴格極大子域E，使得E/F是循環擴張，則稱A為循環代數。代數數域上的有限中心可除代數是循環代數，有理數域上的每個單代數都是其中心上的循環代數。這是布饒爾(Brauer，R.(D.))、哈賽(Hasse，H.)、諾特(Noether，M.)、阿爾貝特(Albert，A.A.)關於有限結合代數理論中最完美的結論。
相關人物簡介
布饒爾
美國數學家.生於德國柏林，卒於美國波士頓。1926年獲柏林大學博士學位.1927年任教於柯尼斯堡大學.1933年納粹控制了德國以後，移居美國.1933—1934年，在肯塔基大學任教.1934—1935年，在普林斯頓高等研究院做外爾(Weyl，(C.H.)H.)的助手.1935—1948年，任教於加拿大多倫多大學.1948—1952年，任密西根大學教授.1952年起，任哈佛大學教授，1971年退休.1945年被選為加拿大皇家學會會員，1954年被選為美國藝術與科學學院院士，1955年被選為美國全國科學院院士，1964年成為哥廷根自然科學院通訊院士.1957—1958年，任加拿大數學大會(加拿大數學會前身)主席，1959—1960年，任美國數學會主席.此外，還曾獲多所大學榮譽學位.
布饒爾是20世紀的著名代數學家之一.在連續群表示、單群和分裂域、模表示和數論等方面都有重要貢獻，特別是單代數理論和非半單代數正則表示方面.早期主要研究群表示理論和代數結構.他和諾特(Noether，E.)的合作促使兩者之間建立了聯繫，他們還揭示了分裂域與單代數的極大子域之間的密切關係.後來引入了現稱為域上的布饒爾群的概念.1931年，他還和哈塞(Hasse，H.)、諾特合作證明了迪克森猜想，即代數數域上的中心單代數是循環的，同時還給出了表征數域上中心可除代數的一組完整的數值不變數.1935年開始了有限域上有限群表示的研究，建立了特徵P的域上的有限群表示理論，發現了表征特徵標的定理，並證明了阿廷L級數是亞純的.1954年提出了用對合(群的二階元素)的中心化子的結構分類單群的布饒爾綱領，這種方法與其他觀點相結合，大大促進了有限單群的分類研究.另外，他還在類域理論方面有重要成果.1949年獲美國數學會柯爾獎，1971年被授予美國國家科學功勳獎章.他一生共發表論著128篇(部)，其論文被收入了三卷本的《R.布饒爾文集》.
哈賽
德國數學家.生卒地不詳.畢業於哥廷根大學，1921年獲博士學位.1934年成為哥廷根大學教授兼數學研究所所長.他還曾在哈雷(Halle)、馬爾堡(Marburg)、哥廷根和柏林等地工作.他是阿廷(Artin，E.)和諾特(Noether，E.)學派的代數學家.
諾特
德國數學家.生於曼海姆(Mannheim)，卒於埃爾朗根(Erlangen).1865年，他進入海德堡大學學習，1868年獲博士學位.1874年在該校任副教授，1888年以後任埃爾朗根大學教授.他的4個孩子有3個成為科學家，著名數學家諾特(Noether，E.)就是他的女兒.
諾特是19世紀代數幾何學方面的代表人物之一.他深入研究了屬於雙有理變換的代數簇的不變性質，建立了關於二次變換的重要定理.1873年，他證明了其最著名的定理：給定兩條代數曲線φ(x，y)=0，ψ(x，y)=0，它們在有限個孤立點上相交，若且唯若某些條件被滿足時，那么通過所有這些交點的代數曲線的方程可表達為Aφ+Bψ=0的形式(其中A、B是關於x和y的多項式).他的另一個定理給出了過曲面φ(x，y，z)=0和ψ(x，y，z)=0的交線的曲面方程具有形式Aφ+Bψ=0的條件.諾特的這些結果，後來被克尼格(Koenig，J.)、拉斯克爾(Lasker，Emanuel)等人所推廣.
循環代數套用
循環代數在結合代數中有重要套用。
結合代數是指類似於環、域，而更接近於環的一個代數系.設A是一個結合環，若A又是域F上向量空間，且對任意元素a，b∈A，λ∈F，適合λ(ab)=(λa)b=a(λb)，則稱A是F上結合代數，簡稱F代數.稱F上向量空間A的維數為代數A的維數，記為dimA.一般地，若結合環A又是左R模，其中R是有單位元1的交換環，且對任意a∈A，λ∈R，適合：
1·a=a，λ(ab)=(λa)b=a(λb)，
則稱A是R上代數.通常假定一個R代數有單位元.
結合代數研究的中心問題是刻畫各類代數的結構，它是從19世紀50年代哈密頓(Hamilton，W.R.)引入實域上四元數(1843年)、格拉斯曼(Grassmann，H.G.)引入向量乘法以及凱萊(Cayley，A.)等人討論矩陣代數開始的.到20世紀初，韋德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)開創了有限維代數發展的新階段，他的半單代數結構理論對代數的發展起了推動作用，使有限維代數的研究基本上歸結為冪零代數與可除代數的研究，進而得出半單代數較完整的表示理論.阿爾貝特(Albert，A.A.)的《代數結構》一書(1939年)是對經典代數的很好的總結.非半單代數結構的研究則較為複雜，因此劃分成一些自然的代數類並對它們進行描述就成了占主要地位的工作.克德(Ko¨the，G.)、中山正(Nakayama，T.)、淺野啟三(Asano，K.)等人刻畫了主理想代數、弗羅貝尼烏斯代數以及它們的推廣.近年來，開始用模論的方法研究代數結構，產生了代數表示論。
由於R上代數A與環的概念僅多一個R×A到A的乘法運算，因此，子代數、單側理想、理想、商代數、冪零和冪零理想、同構及同態等概念僅比環中相應概念多一個與R中元相乘封閉的性質，不再重複它們的定義。
