復疊空間

代數拓撲中的一個重要概念，又稱覆蓋空間。設p:塣→X是連續映射，如果在X中，每一點x都有開鄰域U,使得p-1(U)是塣中一組互不相交開集{Uα}的並集,且p 限制在每個Uα上都是從Uα到U 的同胚,則稱p 是復疊映射,塣是X 的一個復疊空間。

基本介紹

• 中文名：復疊空間
• 又名：覆蓋空間、覆疊空間、復迭空間、覆迭空間
• 所屬學科：代數拓撲
• 詞性：名詞

概念

代數拓撲中的一個重要概念，又稱覆蓋空間。設:塣→是連續映射，如果在中，每一點都有開鄰域,使得()是塣中一組互不相交開集{}的並集,且限制在每個上都是從到的同胚,則稱是復疊映射,塣是的一個復疊空間。例如，由規定的直線到圓周的映射:→是復疊映射。設,取正數,作的開鄰域,則()是一組不相交開區間{(+-ε,++ε)}的並集,且:(+-ε,++ε)→是同胚。又如，當將維球面的每對對徑點粘合時，商空間是實射影空間,粘合映射:→也是復疊映射。

復疊空間

復疊空間

復疊空間

復疊空間

提升性質

復疊映射是一個纖維映射，即它對任何空間都有同倫提升性質（見同倫論）。此外，它還有更多的提升性質：

提升定理

設連通、局部道路連通，∈，又設:→是連續映射，=()，取定慜∈(),則有提升 愝:→塣 使 愝()= 慜的充分必要條件是。

復疊空間

惟一性定理

設Y連通,ƒ:Y→X是連續映射，ƒ的兩個提升愝,愝┡:Y→塣如果對某點y∈Y有愝(y)= 愝┡(y)，那么愝=愝┡。

用這兩個定理不難推出，當n>1時,復疊映射 p所誘導的同態p:πn(塣)→πn(X)是同構，而p:π1(塣)→π1(X)是單同態。

泛復疊空間

當P(π1(塣))是π1(X)的正規子群時,稱塣是X的正則復疊空間；如果塣是單連通的,則稱塣是X的泛復疊空間，它是最常用的復疊空間。

當一個拓撲空間X連通,局部道路連通與半局部單連通時，它一定存在泛復疊空間。

復疊變換群

是復疊空間塣 的自同胚群的一個子群，它由全體滿足p。φ =p的自同胚φ（稱為復疊變換）組成。

如果塣是泛復疊空間，並且X道路連通,則塣上的復疊變換群同構於π1(X),利用這個事實可計算某些空間的基本群。例如E1是S1的泛復疊空間,E1上的復疊變換就是移動距離是整數的平移，從而復疊變換群≌Z,這樣就得到。又如n≥2時，Sn是Pn的泛復疊空間，復疊變換隻有兩個:恆同映射與對徑映射,於是。除了可用來計算基本群外，復疊空間在不動點理論的研究中是一種有效工具，並且在代數拓撲各個領域和幾何拓撲中還有廣泛的套用。

復疊空間

復疊空間

參考書目

M.A.阿姆斯特朗著，孫以豐譯：《基礎拓撲學》，北京大學出版社，北京，1983。(M.A.Armstrong,,McGraw-Hill,London,1979.)