張角公式

張角公式指的是公元467年，中國的朱謙發現的公式定理。即：三角形中的一角被一直線內分,則有：兩小角正弦各與不相鄰邊的比之和,等於大角正弦與分角線之比。

在△ABC中，D是BC上的一點。連結AD。張角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD

逆定理如果 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD，

那么B,D,C三點共線。

基本介紹

• 中文名：張角公式
• 表達式：sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD
• 套用學科：數學
• 適用領域範圍：三角函式

張角公式

在△ABC中，D是BC上的一點。連結AD。張角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD

逆定理如果 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD，

那么B,D,C三點共線。

推論

在定理的條件下，且∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，則B D C共線的充要條件是：2cos∠BAD/AD=1/AB+1/AC

證明

設∠1=∠BAD，∠2=∠CAD

由分角定理，

S△ABD/S△ABC=BD/BC=(AD/AC)*(sin∠1/sin∠BAC)

→ (BD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠1/AC (1.1)

S△ACD/S△ABC=CD/BC=(AD/AB)*(sin∠2/sin∠BAC)

→ (CD/BC)*(sin∠BAC/AD)=sin∠2/AB (1.2)

(1.1)式+(1.2)式得 sin∠1/AC+sin∠2/AB=sin∠BAC/AD

套用

把平面幾何和三角函式緊密相連，它給出了用三角法處理平面幾何問題的一個頗為有用的公式，並且是一個非常有效的證明三點共線的手段。用它去解幾何題，適當地配合三角形面積公式、正弦定理、三角公式、幾何知識，可以大大簡化解題步驟，眾多的幾何問題可以得到簡捷統一的解決。