分角定理

分角定理

在△ABC中,D是邊BC上異於B,C或其延長線上的一點,連結AD,則有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)

基本介紹

  • 中文名:分角定理
  • 常用:平面幾何中角與邊的轉化
  • 特點:用起來十分方便
  • 屬性:平面幾何中的一條基礎定理
簡介:,證明:,推廣:,與其他定理的轉換,

簡介:

分角定理是平面幾何中的一條基礎定理。山東省濟南市王家琦和姚林宏宣稱其是該定理的發現者和命名者。事實上早已有人發現了這個關係,只是因它過於簡易而不值得稱為“定理”罷了。
套用分角定理可以處理很多涉及到邊角轉換、比例線段的幾何問題。
分角定理指出:在△ABC中,D是邊BC上異於B,C或其延長線上的一點,連結AD,則有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)
分角定理

證明:

S△ABD/S△ACD=BD/CD (1.1)
S△ABD/S△ACD=[(1/2)*AB*AD*sin∠BAD]/[(1/2)*AC*AD*sin∠CAD] = (sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC) (1.2)
由1.1式和1.2式得
BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)

推廣:

∵由正弦定理得AB/AC=sin∠ACB/sin∠ABC
∴有時,上式也寫成:BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(sin∠ACB/sin∠ABC),這樣就實現了線段比徹底轉化成角的比。

與其他定理的轉換

(一)用《分角定理》證明《張角定理》:即三角形內有一條分角線,各分角正弦與不相鄰邊的比之和=大角正弦與分角線之比。△ABC中,AD內分∠BAC, 則有(sin∠BAD/AC)+ (sin∠CAD/ AB) = ( sin∠BAC/AD)。
證明:由AC外分∠BAD, 由《分角定理》→(CD/CB)=(sin∠CAD/ sin∠CAB)·(AD/AB)→
(sin∠CAD/ AB)= (CD/CB)·(sin∠CAB/AD⑴, 由AB外分∠CAD, 由《分角定理》→(BD/BC)=
(sin∠BAD/ sin∠BAC)·(AD/AC)→(sin∠BAD/ AC)=(BD/BC)·(sin∠BAC/AD⑵。由⑴+⑵→
(sin∠BAD/ AC) +(sin∠CAD/ AB) = sin∠BAC(BD+CD)/(BC·AD)= ( sin∠BAC/AD)。證畢。
(二)用《分角定理》證明《三弦定理》:過圓上一點A任作三條弦,AB(左)、AC(右)、AD(中),則有AB·sin∠CAP +AC·sin∠BAP= AD·sin∠BAC。(AD與BC交於P)
證明:由AC外分∠BAP, 由《分角定理》→(sin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC)·(AB/AP)→(AB·sin∠CAP/
sin∠BAC)=(CP/BC)(AB·AB)/AP⑴,同理由AB外分∠CAP, 由《分角定理》→(AC·sin∠BAP/ sin∠BAC)=
(BP/BC)(AC·AC)/AP⑵,由⑴+⑵→(AB·sin∠CAP+ AC·sin∠BAP)=AD·sin∠BAC[(CP·AB·AB)/(AP·BC·AD)+(BP·AC·AC)/(AP·BC·AD)] = AD·sin∠BAC[(CP/AP)(AB/BC)(AB/AD)+(BP/AP)(AC/BC)(AC/AD)]= AD·sin∠BAC[(sin∠CAP/ sin∠ACP)(sin∠ACP/ sin∠BAC)(AB/AD)+(sin∠BAP/ sin∠ABC)(sin∠ABC/ sin∠BAC)(AC/AD)]= AD·sin∠BAC[(sin∠CBD/ sin∠BDC)(AB/AD)+(sin∠BCD/ sin∠BDC)(AC/AD)= AD·sin∠BAC [(CD/BC)(AB/AD)+(BD/BC)(AC/AD)]= AD·sin∠BAC [(CD·AB)/(BC·AD)+(BD·AC)/(BC·AD)] 由《托氏定理》,所以有
(AB·sin∠CAP+ AC·sin∠BAP)=AD·sin∠BAC。證畢。
(三)用《分角定理》證明《全面三割線定理》:過圓外一點。任作三條割線,則有
(PB·sin∠DPQ + PA·sin∠EPQ)×sin∠DPE/PQ=(sin∠EPQ/PD + sin∠DPQ/PE)×sin∠DPE·PC。
證明:連AE交PC於M,連BD交PC於N,連AC、BC、DQ、EQ。
由PD外分∠BPN,由《分角定理》→(sin∠DPQ/ sin∠DPE)=(DN/DB)·(PB/PN)→
PB sin∠DPQ= sin∠DPE(DN·PB·PB)/(DB·PN)⑴。
由PE外分∠APM,由《分角定理》→(sin∠EPQ/ sin∠DPE)=(EM/EA)·(PA/PM)→
PA sin∠EPQ= sin∠DPE(EM·PA·PA)/(EA·PM)⑵。由⑴+⑵→
PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ = sin∠DPE[(DN·PB·PB)/(DB·PN)+(EM·PA·PA)/(EA·PM)]×PC/PC
=PC sin∠DPE[(DN/PN)(PB/DB)(PB/PC)+(EM/PM)(PA/EA)(PA/PC)]
= PC sin∠DPE[(sin∠DPQ/ sin∠PDN) (sin∠PDN/ sin∠DPE) (sin∠PCB/ sin∠PBC)+ (sin∠EPQ/ sin∠PEM)
(sin∠PEM/ sin∠DPE) (sin∠PCA sin∠PAC)],兩邊×sin∠DPE/PQ→
(PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ)×sin∠DPE/PQ= PC sin∠DPE[(sin∠DPE/PQ)(sin∠DPQ/ sin∠DPE)
(sin∠PEQ/ sin∠PQE)+(sin∠DPE/PQ)(sin∠EPQ/ sin∠DPE) (sin∠PDQ sin∠PQD)] →
(PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ)×sin∠DPE/PQ= PC sin∠DPE[(sin∠DPQ/PQ)(PQ/PE)+(sin∠EPQ/PQ) (PQ/PD)]
∴(PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ)×sin∠DPE/PQ= PC sin∠DPE[(sin∠DPQ/PE)+ (sin∠EPQ/PD)]證畢。

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