分角定理

在△ABC中，D是邊BC上異於B,C或其延長線上的一點，連結AD，則有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。

基本介紹

• 中文名：分角定理
• 常用：平面幾何中角與邊的轉化
• 特點：用起來十分方便
• 屬性：平面幾何中的一條基礎定理

簡介:

分角定理是平面幾何中的一條基礎定理。山東省濟南市王家琦和姚林宏宣稱其是該定理的發現者和命名者。事實上早已有人發現了這個關係,只是因它過於簡易而不值得稱為“定理”罷了。

套用分角定理可以處理很多涉及到邊角轉換、比例線段的幾何問題。

分角定理指出：在△ABC中，D是邊BC上異於B,C或其延長線上的一點，連結AD，則有BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)。

證明：

S△ABD/S△ACD=BD/CD (1.1)

S△ABD/S△ACD=[(1/2)*AB*AD*sin∠BAD]/[(1/2)*AC*AD*sin∠CAD] = (sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC) (1.2)

由1.1式和1.2式得

BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(AB/AC)

推廣：

∵由正弦定理得AB/AC=sin∠ACB/sin∠ABC

∴有時，上式也寫成：BD/CD=(sin∠BAD/sin∠CAD)*(sin∠ACB/sin∠ABC)，這樣就實現了線段比徹底轉化成角的比。

與其他定理的轉換

（一）用《分角定理》證明《張角定理》：即三角形內有一條分角線,各分角正弦與不相鄰邊的比之和=大角正弦與分角線之比。△ABC中,AD內分∠BAC, 則有（sin∠BAD/AC）+ (sin∠CAD/ AB) = ( sin∠BAC/AD)。

證明：由AC外分∠BAD, 由《分角定理》→（CD/CB）=（sin∠CAD/ sin∠CAB）·（AD/AB）→

(sin∠CAD/ AB)= (CD/CB)·(sin∠CAB/AD⑴, 由AB外分∠CAD, 由《分角定理》→（BD/BC）=

（sin∠BAD/ sin∠BAC）·（AD/AC）→(sin∠BAD/ AC)=（BD/BC）·(sin∠BAC/AD⑵。由⑴+⑵→

(sin∠BAD/ AC) +(sin∠CAD/ AB) = sin∠BAC(BD+CD)/(BC·AD)= ( sin∠BAC/AD)。證畢。

（二）用《分角定理》證明《三弦定理》：過圓上一點A任作三條弦，AB（左）、AC（右）、AD（中），則有AB·sin∠CAP +AC·sin∠BAP= AD·sin∠BAC。（AD與BC交於P）

證明：由AC外分∠BAP, 由《分角定理》→(sin∠CAP/ sin∠BAC)=（CP/BC）·（AB/AP）→(AB·sin∠CAP/

sin∠BAC)=（CP/BC）（AB·AB）/AP⑴，同理由AB外分∠CAP, 由《分角定理》→(AC·sin∠BAP/ sin∠BAC)=

（BP/BC）（AC·AC）/AP⑵，由⑴+⑵→(AB·sin∠CAP+ AC·sin∠BAP)=AD·sin∠BAC[（CP·AB·AB）/（AP·BC·AD）+（BP·AC·AC）/（AP·BC·AD）] = AD·sin∠BAC[（CP/AP）（AB/BC）（AB/AD）+（BP/AP）（AC/BC）（AC/AD）]= AD·sin∠BAC[（sin∠CAP/ sin∠ACP）（sin∠ACP/ sin∠BAC）（AB/AD）+（sin∠BAP/ sin∠ABC）（sin∠ABC/ sin∠BAC）（AC/AD）]= AD·sin∠BAC[（sin∠CBD/ sin∠BDC）（AB/AD）+（sin∠BCD/ sin∠BDC）（AC/AD）= AD·sin∠BAC [（CD/BC）（AB/AD）+（BD/BC）（AC/AD）]= AD·sin∠BAC [（CD·AB）/（BC·AD）+（BD·AC）/（BC·AD）] 由《托氏定理》，所以有

(AB·sin∠CAP+ AC·sin∠BAP)=AD·sin∠BAC。證畢。

（三）用《分角定理》證明《全面三割線定理》：過圓外一點。任作三條割線，則有

（PB·sin∠DPQ + PA·sin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ=（sin∠EPQ/PD + sin∠DPQ/PE）×sin∠DPE·PC。

證明：連AE交PC於M，連BD交PC於N，連AC、BC、DQ、EQ。

由PD外分∠BPN，由《分角定理》→(sin∠DPQ/ sin∠DPE)=（DN/DB）·（PB/PN）→

PB sin∠DPQ= sin∠DPE（DN·PB·PB）/（DB·PN）⑴。

由PE外分∠APM，由《分角定理》→(sin∠EPQ/ sin∠DPE)=（EM/EA）·（PA/PM）→

PA sin∠EPQ= sin∠DPE（EM·PA·PA）/（EA·PM）⑵。由⑴+⑵→

PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ = sin∠DPE[（DN·PB·PB）/（DB·PN）+（EM·PA·PA）/（EA·PM）]×PC/PC

=PC sin∠DPE[（DN/PN）（PB/DB）（PB/PC）+（EM/PM）（PA/EA）（PA/PC）]

= PC sin∠DPE[(sin∠DPQ/ sin∠PDN) (sin∠PDN/ sin∠DPE) (sin∠PCB/ sin∠PBC)+ (sin∠EPQ/ sin∠PEM)

(sin∠PEM/ sin∠DPE) (sin∠PCA sin∠PAC)]，兩邊×sin∠DPE/PQ→

（PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ= PC sin∠DPE[（sin∠DPE/PQ）(sin∠DPQ/ sin∠DPE)

(sin∠PEQ/ sin∠PQE)+（sin∠DPE/PQ）(sin∠EPQ/ sin∠DPE) (sin∠PDQ sin∠PQD)] →

（PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ= PC sin∠DPE[(sin∠DPQ/PQ)（PQ/PE）+(sin∠EPQ/PQ) （PQ/PD）]

∴（PB sin∠DPQ+ PA sin∠EPQ）×sin∠DPE/PQ= PC sin∠DPE[(sin∠DPQ/PE)+ (sin∠EPQ/PD)]證畢。