基本介紹
- 中文名：弗洛伊德算法
- 外文名：Floyd(Floyd-Warshall)
- 別名：Roy-Warshall算法
- 時間複雜度：O（n^3）
- 空間複雜度：O（n^2）
- 作用：求多源最短路徑，求傳遞閉包
簡介,核心思路,路徑矩陣,狀態轉移方程,算法過程,時間複雜度與空間複雜度,優缺點分析,算法描述,參考代碼,C語言,C++語言,Matlab原始碼,pascal語言,java語言,
簡介
在計算機科學中，Floyd-Warshall算法是一種在具有正或負邊緣權重（但沒有負周期）的加權圖中找到最短路徑的算法。算法的單個執行將找到所有頂點對之間的最短路徑的長度（加權）。 雖然它不返迴路徑本身的細節，但是可以通過對算法的簡單修改來重建路徑。 該算法的版本也可用於查找關係R的傳遞閉包，或（與Schulze投票系統相關）在加權圖中所有頂點對之間的最寬路徑。
Floyd-Warshall算法是動態規劃的一個例子，並在1962年由Robert Floyd以其當前公認的形式出版。然而，它基本上與Bernard Roy在1959年先前發表的算法和1962年的Stephen Warshall中找到圖形的傳遞閉包基本相同，並且與Kleene的算法密切相關 在1956年）用於將確定性有限自動機轉換為正則表達式。算法作為三個嵌套for循環的現代公式首先由Peter Ingerman在1962年描述。
該算法也稱為Floyd算法，Roy-Warshall算法，Roy-Floyd算法或WFI算法。
核心思路
路徑矩陣
從圖的帶權鄰接矩陣A=[a(i,j)] n×n開始，疊代地進行n次更新，即由矩陣D(0)=A，按一個公式，構造出矩陣D(1)；又用同樣地公式由D(1)構造出D(2)；……；最後又用同樣的公式由D(n-1)構造出矩陣D(n)。矩陣D(n)的i行j列元素便是i號頂點到j號頂點的最短路徑長度，稱D(n)為圖的距離矩陣，同時還可引入一個後繼節點矩陣path來記錄兩點間的最短路徑。
採用鬆弛技術（鬆弛操作），對在i和j之間的所有其他點進行一次鬆弛。所以時間複雜度為O(n^3);
狀態轉移方程
其狀態轉移方程如下： map[i,j]:=min{map[i,k]+map[k,j],map[i,j]}；
map[i,j]表示i到j的最短距離，K是窮舉i,j的斷點，map[n,n]初值應該為0，或者按照題目意思來做。
當然，如果這條路沒有通的話，還必須特殊處理，比如沒有map[i,k]這條路。
算法過程
1，從任意一條單邊路徑開始。所有兩點之間的距離是邊的權，如果兩點之間沒有邊相連，則權為無窮大。
2，對於每一對頂點 u 和 v，看看是否存在一個頂點 w 使得從 u 到 w 再到 v 比已知的路徑更短。如果是更新它。
把圖用鄰接矩陣G表示出來，如果從Vi到Vj有路可達，則G[i][j]=d，d表示該路的長度；否則G[i][j]=無窮大。定義一個矩陣D用來記錄所插入點的信息，D[i][j]表示從Vi到Vj需要經過的點，初始化D[i][j]=j。把各個頂點插入圖中，比較插點後的距離與原來的距離，G[i][j] = min( G[i][j], G[i][k]+G[k][j] )，如果G[i][j]的值變小，則D[i][j]=k。在G中包含有兩點之間最短道路的信息，而在D中則包含了最短通路徑的信息。
比如，要尋找從V5到V1的路徑。根據D，假如D(5,1)=3則說明從V5到V1經過V3，路徑為{V5,V3,V1}，如果D(5,3)=3，說明V5與V3直接相連，如果D(3,1)=1，說明V3與V1直接相連。
時間複雜度與空間複雜度
時間複雜度:O(n^3)；
空間複雜度:O(n^2)
優缺點分析
Floyd算法適用於APSP(All Pairs Shortest Paths，多源最短路徑)，是一種動態規划算法，稠密圖效果最佳，邊權可正可負。此算法簡單有效，由於三重循環結構緊湊，對於稠密圖，效率要高於執行|V|次Dijkstra算法，也要高於執行|V|次SPFA算法。
優點：容易理解，可以算出任意兩個節點之間的最短距離，代碼編寫簡單。
缺點：時間複雜度比較高，不適合計算大量數據。
算法描述
a) 初始化：D[u,v]=A[u,v]
b) For k:=1 to n
For i:=1 to n
For j:=1 to n
If D[i,j]>D[i,k]+D[k,j] Then
D[i,j]:=D[i,k]+D[k,j];
c) 算法結束：D即為所有點對的最短路徑矩陣
參考代碼
C語言
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define max 1000000000
int d[1000][1000],path[1000][1000];
int main()
{
int i,j,k,m,n;
int x,y,z;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++){
d[i][j]=max;
path[i][j]=j;
}
for(i=1;i<=m;i++) {
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
d[x][y]=z;
d[y][x]=z;
}
for(k=1;k<=n;k++)
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++) {
if(d[i][k]+d[k][j]<d[i][j]) {
d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];
path[i][j]=path[i][k];
}
}
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=i;j++)
if (i!=j) printf("%d->%d:%d\n",i,j,d[i][j]);
int f, en;
scanf("%d%d",&f,&en);
while (f!=en) {
printf("%d->",f);
f=path[f][en];
}
printf("%d\n",en);
return 0;
}
C++語言
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
const int &INF=100000000;
void floyd(vector<vector<int> > &distmap,//可被更新的鄰接矩陣，更新後不能確定原有邊
vector<vector<int> > &path)//路徑上到達該點的中轉點
//福利：這個函式沒有用除INF外的任何全局量，可以直接複製！
{
const int &NODE=distmap.size();//用鄰接矩陣的大小傳遞頂點個數，減少參數傳遞
path.assign(NODE,vector<int>(NODE,-1));//初始化路徑數組
for(int k=1; k!=NODE; ++k)//對於每一個中轉點
for(int i=0; i!=NODE; ++i)//枚舉源點
for(int j=0; j!=NODE; ++j)//枚舉終點
if(distmap[i][j]>distmap[i][k]+distmap[k][j])//不滿足三角不等式
{
distmap[i][j]=distmap[i][k]+distmap[k][j];//更新
path[i][j]=k;//記錄路徑
}
}
void print(const int &beg,const int &end,
const vector<vector<int> > &path)//傳引用，避免拷貝，不占用記憶體空間
//也可以用棧結構先進後出的特性來代替函式遞歸
{
if(path[beg][end]>=0)
{
print(beg,path[beg][end],path);
print(path[beg][end],end,path);
}
else cout<<"->"<<end;
}
int main()
{
int n_num,e_num,beg,end;//含義見下
cout<<"（不處理負權迴路）輸入點數、邊數：";
cin>>n_num>>e_num;
vector<vector<int> > path,
distmap(n_num,vector<int>(n_num,INF));//默認初始化鄰接矩陣
for(int i=0,p,q; i!=e_num; ++i)
{
cout<<"輸入第"<<i+1<<"條邊的起點、終點、長度（100000000代表無窮大，不聯通）：";
cin>>p>>q;
cin>>distmap[p][q];
}
floyd(distmap,path);
cout<<"計算完畢，可以開始查詢，請輸入出發點和終點：";
cin>>beg>>end;
cout<<"最短距離為"<<distmap[beg][end]<<"，列印路徑："<<beg;
print(beg,end,path);
}
Matlab原始碼
function Floyd(w,router_direction,MAX)
%w為此圖的距離矩陣
%router_direction為路由類型：0為前向路由；非0為回溯路由
%MAX是數據輸入時的∞的實際值
len=length(w);
flag=zeros(1,len);
%根據路由類型初始化路由表
R=zeros(len,len);
for i=1:len
if router_direction==0%前向路由
R(:,i)=ones(len,1)*i;
else %回溯路由
R(i,:)=ones(len,1)*i;
end
R(i,i)=0;
end
disp('');
disp('w(0)');
dispit(w,0);
disp('R(0)');
dispit(R,1);
%處理端點有權的問題
for i=1:len
tmp=w(i,i)/2;
if tmp~=0
w(i,:)=w(i,:)+tmp;
w(:,i)=w(:,i)+tmp;
flag(i)=1;
w(i,i)=0;
end
end
%Floyd算法具體實現過程
for i=1:len
for j=1:len
if j==i || w(j,i)==MAX
continue;
end
for k=1:len
if k==i || w(j,i)==MAX
continue;
end
if w(j,i)+w(i,k)<w(j,k) %Floyd算法核心代碼
w(j,k)=w(j,i)+w(i,k);
if router_direction==0%前向路由
R(j,k)=R(j,i);
else %回溯路由
R(j,k)=R(i,k);
end
end
end
end
%顯示每次的計算結果
disp(['w(',num2str(i),')'])
dispit(w,0);
disp(['R(',num2str(i),')'])
dispit(R,1);
end
%中心和中點的確定
[Center,index]=min(max(w'));
disp(['中心是V',num2str(index)]);
[Middle,index]=min(sum(w'));
disp(['中點是V',num2str(index)]);
end
function dispit(x,flag)
%x：需要顯示的矩陣
%flag：為0時表示顯示w矩陣，非0時表示顯示R矩陣
len=length(x);
s=[];
for j=1:len
if flag==0
s=[s sprintf('%5.2f\t',x(j,:))];
else
s=[s sprintf('%d\t',x(j,:))];
end
s=[s sprintf('\n')];
end
disp(s);
disp('---------------------------------------------------');
end
% 選擇後按Ctrl+t取消注釋號%
%
% 示例：
% a=[
% 0,100,100,1.2,9.2,100,0.5;
% 100,0,100,5,100,3.1,2;
% 100,100,0,100,100,4,1.5;
% 1.2,5,100,0,6.7,100,100;
% 9.2,100,100,6.7,0,15.6,100;
% 100,3.1,4,100,15.6,0,100;
% 0.5,2,1.5,100,100,100,0
% ];
%
% b=[
% 0,9.2,1.1,3.5,100,100;
% 1.3,0,4.7,100,7.2,100;
% 2.5,100,0,100,1.8,100;
% 100,100,5.3,0,2.4,7.5;
% 100,6.4,2.2,8.9,0,5.1;
% 7.7,100,2.7,100,2.1,0
% ];
%
% Floyd(a,1,100)
% Floyd(b,1,100)
pascal語言
program floyd;
varst,en,f:integer;
k,n,i,j,x:integer;
a:array[1..10,1..10] of integer;
path:array[1..10,1..10] of integer;
begin
readln(n);
for i:=1 to n do
begin
for j:=1 to n do
begin
read(k);
if k<>0 thena[i,j]:=k
elsea[i,j]:=maxint;
path[i,j]:=j;
end;
readln;
end;
for x:=1 to n do
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if a[i,j]>a[i,x]+a[x,j] then
begin
a[i,j]:=a[i,x]+a[x,j];
path[i,j]:=path[i,x];
end;
readln(st,en);
writeln(a[st,en]);
f:=st;
while f<> en do
begin
write(f);
write('-->');
f:=path[f,en];
end;
writeln(en);
end.
java語言
//以無向圖G為入口，得出任意兩點之間的路徑長度length[i][j]，路徑path[i][j][k]，
//途中無連線得點距離用0表示，點自身也用0表示
public class FLOYD {
int[][] length = null;// 任意兩點之間路徑長度
int[][][] path = null;// 任意兩點之間的路徑
public FLOYD(int[][] G) {
int MAX = 100;int row = G.length;// 圖G的行數
int[][] spot = new int[row][row];// 定義任意兩點之間經過的點
int[] onePath = new int[row];// 記錄一條路徑
length = new int[row][row];
path = new int[row][row][];
for (int i = 0; i < row; i++)// 處理圖兩點之間的路徑
for (int j = 0; j < row; j++) {
if (G[i][j] == 0)G[i][j] = MAX;// 沒有路徑的兩個點之間的路徑為默認最大
if (i == j)G[i][j] = 0;// 本身的路徑長度為0
}
for (int i = 0; i < row; i++)// 初始化為任意兩點之間沒有路徑
for (int j = 0; j < row; j++)
spot[i][j] = -1;
for (int i = 0; i < row; i++)// 假設任意兩點之間的沒有路徑
onePath[i] = -1;
for (int v = 0; v < row; ++v)
for (int w = 0; w < row; ++w)
length[v][w] = G[v][w];
for (int u = 0; u < row; ++u)
for (int v = 0; v < row; ++v)
for (int w = 0; w < row; ++w)
if (length[v][w] > length[v][u] + length[u][w]) {
length[v][w] = length[v][u] + length[u][w];// 如果存在更短路徑則取更短路徑
spot[v][w] = u;// 把經過的點加入
}
for (int i = 0; i < row; i++) {// 求出所有的路徑
int[] point = new int[1];
for (int j = 0; j < row; j++) {
point[0] = 0;
onePath[point[0]++] = i;
outputPath(spot, i, j, onePath, point);
path[i][j] = new int[point[0]];
for (int s = 0; s < point[0]; s++)
path[i][j][s] = onePath[s];
}
}
}
void outputPath(int[][] spot, int i, int j, int[] onePath, int[] point) {// 輸出i// 到j// 的路徑的實際代碼，point[]記錄一條路徑的長度
if (i == j)return;
if (spot[i][j] == -1)
onePath[point[0]++] = j;
// System.out.print(" "+j+" ");
else {
outputPath(spot, i, spot[i][j], onePath, point);
outputPath(spot, spot[i][j], j, onePath, point);
}
}
public static void main(String[] args) {
int data[][] = {
{ 0, 27, 44, 17, 11, 27, 42, 0, 0, 0, 20, 25, 21, 21, 18, 27, 0 },// x1
{ 27, 0, 31, 27, 49, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 52, 21, 41, 0, 0 },// 1
{ 44, 31, 0, 19, 0, 27, 32, 0, 0, 0, 47, 0, 0, 0, 32, 0, 0 },// 2
{ 17, 27, 19, 0, 14, 0, 0, 0, 0, 0, 30, 0, 0, 0, 31, 0, 0 },// 3
{ 11, 49, 0, 14, 0, 13, 20, 0, 0, 28, 15, 0, 0, 0, 15, 25, 30 },// 4
{ 27, 0, 27, 0, 13, 0, 9, 21, 0, 26, 26, 0, 0, 0, 28, 29, 0 },// 5
{ 42, 0, 32, 0, 20, 9, 0, 13, 0, 32, 0, 0, 0, 0, 0, 33, 0 },// 6
{ 0, 0, 0, 0, 0, 21, 13, 0, 19, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0 },// 7
{ 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 19, 0, 11, 20, 0, 0, 0, 0, 33, 21 },// 8
{ 0, 0, 0, 0, 28, 26, 32, 0, 11, 0, 10, 20, 0, 0, 29, 14, 13 },// 9
{ 20, 0, 47, 30, 15, 26, 0, 0, 20, 10, 0, 18, 0, 0, 14, 9, 20 },// 10
{ 25, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 20, 18, 0, 23, 0, 0, 14, 0 },// 11
{ 21, 52, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 23, 0, 27, 22, 0, 0 },// 12
{ 21, 21, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 27, 0, 0, 0, 0 },// 13
{ 18, 41, 32, 31, 15, 28, 0, 0, 0, 29, 14, 0, 22, 0, 0, 11, 0 },// 14
{ 27, 0, 0, 0, 25, 29, 33, 0, 33, 14, 9, 14, 0, 0, 11, 0, 9 },// 15
{ 0, 0, 0, 0, 30, 0, 0, 0, 21, 13, 20, 0, 0, 0, 0, 9, 0 } // 16
};
for (int i = 0; i < data.length; i++)
for (int j = i; j < data.length; j++)
if (data[i][j] != data[j][i])return;
FLOYD test=new FLOYD(data);
for (int i = 0; i < data.length; i++)
for (int j = i; j < data[i].length; j++) {
System.out.println();
System.out.print("From " + i + " to " + j + " path is: ");
for (int k = 0; k < test.path[i][j].length; k++)
System.out.print(test.path[i][j][k] + " ");
System.out.println();
System.out.println("From " + i + " to " + j + " length :"+ test.length[i][j]);
}
}
}
