基本介紹
- 中文名：序數類閉無界子集
- 外文名：closed unbounded subsetof class of ordinals
- 領域：集合論
- 性質：序數類的子集
- 定義：無界閉子集
- 記號：c.u.b
概念,序數,閉集,相關概念——偏序全序和良序,
概念
序數類閉無界子集(closed unbounded subsetof class of ordinals)是序數類的一種子集。給定序數類Ω及Ω的一個子集A⊆Ω，若在Ω中不存在序數α，使A中每個序數都小於α，則稱A在Ω中無界;若A包含本身的屬於Ω的極限點，則稱A是Ω的閉子集。Ω的無界閉子集稱為Ω的閉無界子集。簡記為Ω的c.u.b。
序數
序數原來被定義為良序集的序型，而良序集A的序型凴，作為從A的元素的屬性中抽象出來的結果，是所有與A序同構的一切良序集的共同特徵，即定義為{B|BA}。
這個定義從形式上看來是十分簡單明瞭的，但在ZFC公理系統中不能證明它構成一個集合。事實上，{B|BA}是一個真類。因此，原來的那個定義是不成功的，必須修正，另走別的途徑。
設 α是一個良序集，ξ∈α，稱S（ξ）={β∈α|β<；ξ}為在良序集α中由ξ所生成的初始截段。1923、1928年，J.馮·諾伊曼把序數定義為滿足下述條件的良序集α：對於一切ξ∈α，S（ξ）=ξ。
例如，在集合9={0,1,2，…，8}中取一個元素2，S⑵={0，1}=2，9中任何其他元素也具有這個性質，所以9是一個序數。
序數
序數集A稱為歸納集，如果①═∈A，②只要α∈A就有α′=α∪{α}∈A。歸納集A的存在性是由無限公理保證的。A的一切歸納子集之交N稱為自然數集，它是最小的歸納集。N是良序的，並且其中任一元素n的初始截段S(n)={0，1，2，…，（n-1）}=n，所以N是一個序數，這個序數通常用ω表示。N的每一個元素n都是序數，稱為有限序數。有限序數以屬於每一個歸納集作為特徵。其他序數稱為超限序數，ω就是最小的超限序數。
1937年R,M.魯賓遜給出了序數的另一等價定義，良序集<；α∈>；是一個序數，若〈α，∈〉是傳遞集，即只要x∈α且y∈x就有y∈α，這些定義沒有康托爾原來定義的缺點。
閉集
設E為拓撲空間。稱補為開集的E之任一子集為E的閉子集。
為使E的子集是閉的，必須且只須它含有其全部聚點，或含有它的全部接觸點。
閉集的性質可通過取補從開集的性質推出：
a) 任一族閉子集的交仍是閉的;
b) 任意有限個閉子集的並是閉的.
特別，E的空子集及全子集是閉的;如果E被賦以最粗的拓撲，這便是E的兩個僅有的閉子集；如果E是離散空間，那么E的任一子集同時為開的和閉的。
設E為賦以序拓撲的全序集。E的所有閉區間都是閉子集。
設(A，d)為度量空間。A的所有閉球及球面都是閉子集。
相關概念——偏序全序和良序
次序是二元關係（見映射）的一個非常重要的類型。設R是定義在A上的滿足下列條件的二元關係：①對於一切x∈A有xRx（自反性）；② 對於一切x，y∈A，由xRy與yRx可得x=y（反對稱性）；③對於一切x，y，z∈A，由xRy與yRz可得xRz（傳遞性），就稱R是定義在A上的偏序，也稱半序。偏序R通常記為≤或≤，α≤b）讀作α在b前。集合A連同其上定義的偏序≤，稱為偏序集，記為〈A，≤〉。實數集上的通常的大小關係、集合之間的被包含關係、自然數之間的可整除關係都是偏序的例。
序數
序數設≤為A上的偏序。如果在A上定義一個關係<；，使得x<y若且唯若x≤y且x≠y，則關係<；滿足條件：①′對任何x∈A，x<x不成立，②′由x<y與y<z可得x<z。這時<；稱為嚴格偏序。反之，設<；為嚴格偏序，如果定義x≤y若且唯若x<y或x=y，則≤必為偏序。因此在偏序與嚴格偏序之中只需討論一種就夠了。設〈A，≤〉為一偏序集，如果x0∈A且在A中沒有其他x使x≤x0，則稱x0為A的一個極小元（素）。如果對於一切x∈A有x0≤x，則稱x0為A中的最小元（素），正整數集在整除的偏序下1是最小元，但若只限於大於1的整數，則只有極小元（每個質數）而無最小元。仿此可定義極大元與最大元。設x為偏序集〈A，≤〉的子集，如果存在α∈A，使得對於一切x∈x，有α≤x，則稱α為x（關於A）的一個下界。如果x的關於A的一切下界有一最大元α0，就稱α0為x（關於A）的下確界，記為infx。仿此可定義上界和上確界，後者記為supx。
A上的偏序≤，如果再加上條件④對於一切x，y∈A，總有x≤y或y≤x（至少有一成立），就稱≤為A上的全序，也稱線序。〈A，≤〉稱為全序集。顯然，在全序集中x<y，x=y，x>y，三者必居其一且僅居其一。實數集及其任何子集在通常的≤關係下是全序集的例。對於全序集〈A，≤〉如果再加上條件⑤A的任一非空子集都有最小元，就稱≤為A上的良序，〈A，≤〉稱為良序集。按任何順序排起來的有限集，按自然順序的自然數集，將所有奇數排在前面、所有偶數排在後面的自然數集{1，3，5，…，2，4，6，…}都是良序集之例。但整數全體，區間[0，1]，就不是良序集。設<A，≤1>,<B，≤2>；為兩個偏序集，如果存在A到B的雙射φ使得對於一切x，y∈A,x≤1y若且唯若φ(x）≤2φ(y），便稱兩偏序集為序同構，記為A埍B。例如，奇數集與偶數集序同構，但是上面列舉的三個良序集沒有兩個是序同構的。
