序數乘法

序數乘法

序數乘法(multiplication of ordinals)是序數的一種運算,對任意序數α,β,γ,有:1.α·0=0;2.α·β+=(α·β)+α;3.α·γ=sup{α·β|β<γ},當γ為極限序數時。

基本介紹

  • 中文名:序數乘法
  • 外文名:multiplication of ordinals
  • 所屬學科:數學
  • 簡介序數的一種運算
序數乘法的定義,序數乘法的性質,

序數乘法的定義

兩個序數α和β的積αβ可以定義為序列
的和,其中對於一切
。有窮個序數序列的積,顯然可以用疊代法定義,但是我們也可以採取不同的定義方法.設
是有窮個序數序列,P是集合
卡氏積,對於P中任何兩個不同的元素f和g,我們說,f<g若且唯若存在i∈n使得
,且當一切j>i時有
,這時P按上述關係是良序的,從而可以定義積
為Ord(P)。
不難看出,兩種方法總是給出同一結果。對此,只須驗證:族
(這裡對於一切
)的分離並和附有序關係的族
(這裡
)的卡氏積是同構良序集。

序數乘法的性質

序數乘法有下列性質:對任意序數α,β,γ,有:
1.α·(β·γ)=(α·β)·γ.
2.α·(β+γ)=α·β+α·γ.
3.α·β<α·γ
(β<γ∧α≠0).
4.α·β=α·γ
(β=γ∧α≠0).
5.α<β
α·γ≤β·γ.
6.α·γ<β·γ
α<β.
7.α≠0∧β≠0
αβ≠0.
序數的乘法不滿足交換律,例如,我們有
這裡,由h(i,n)=2n+i定義的
是一個同構映射,所以
而ω與ω2中前於(0,1)的真前節ω×{0}同構。
又例如,3·ω=ω<ω·3。

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