基本介紹
- 中文名:序數乘法
- 外文名:multiplication of ordinals
- 所屬學科:數學
- 簡介:序數的一種運算
序數乘法的定義,序數乘法的性質,
序數乘法的定義
兩個序數α和β的積αβ可以定義為序列的和,其中對於一切有。有窮個序數序列的積,顯然可以用疊代法定義,但是我們也可以採取不同的定義方法.設是有窮個序數序列,P是集合的卡氏積,對於P中任何兩個不同的元素f和g,我們說,f<g若且唯若存在i∈n使得,且當一切j>i時有,這時P按上述關係是良序的,從而可以定義積為Ord(P)。
不難看出,兩種方法總是給出同一結果。對此,只須驗證:族(這裡對於一切,)的分離並和附有序關係的族(這裡)的卡氏積是同構良序集。
序數乘法的性質
序數乘法有下列性質:對任意序數α,β,γ,有:
1.α·(β·γ)=(α·β)·γ.
2.α·(β+γ)=α·β+α·γ.
3.α·β<α·γ(β<γ∧α≠0).
4.α·β=α·γ(β=γ∧α≠0).
5.α<βα·γ≤β·γ.
6.α·γ<β·γα<β.
7.α≠0∧β≠0αβ≠0.
序數的乘法不滿足交換律,例如,我們有
和
而
且
這裡,由h(i,n)=2n+i定義的是一個同構映射,所以而ω與ω2中前於(0,1)的真前節ω×{0}同構。
又例如,3·ω=ω<ω·3。