平衡不完全區組設計

平衡不完全區組設計的定義

需滿足條件

將v個水平安排到b個區組中，若滿足以下幾個條件，稱為平衡區組設計：

（1）每個區組包含k個水平一區組大小；

（2）每個水平在r個區組中出現一水平重複數；

（3）每對水平在λ個區組中相遇一相遇數。

若k<v，且B是平衡區組設計，則B是一個平衡不完全區組設計(BIBD)。

參數

平衡不完全區組設計有五個參數：

（1）b：區組數；

（2）v：水平數；

（3）k：在每個區組中水平的個數；

（4）r：包含每個水平的區組的個數；

（5）λ：包含每對水平的區組的個數。

在這裡我們稱b、v、k、r、λ為BIBD的參數。

定義

定義：BIBD的關聯矩陣為v x b階的0-1陣：

關聯矩陣有以下幾個基本性質：

（1）A的每一行和為r；

（2）A的每一列和為k；

（3）A的任意兩行的內積為λ。

BIBD各參數之間的關係及其性質

（1）定理1：在一個BIBD中，每個處理含於r個區組中，其中：

1）推論1：在BIBD中，有bk=vr。

證明：通過行來計算，BIBD的關聯矩陣A中1的個數為6k。通過列來計算，則A中1的個數為vr。因為兩種計數方法的結果相等，所以有bk=vr。

2）推論2：在BIBD中，有λ<r。

證明：根據定義，在BIBD中，有k<v，從而k一1<v一1，使用定理1的結果，λ<r顯然成立。

（2）定理2：Fisher不等式：在一個BIBD中，b≥v。

（3）在一個BIBD中，有參數v=nk、b、r、k和λ，如果b>v+r-1，那么r≥λ+2k。反之也成立。

平衡不完全區組試驗設計的特點

優點

（1）經濟性：

全部試驗水平可以不安排在同一個區組內進行，對區組的要求較低，經濟的解決了試驗成本。

（2）平衡性：

1)每個試驗水平重複次數相同(r相同)；

2)每個區組包含的水平個數相同(k相同)；

3)任意兩個水平對，在整個試驗中出現的重複次數相同(λ相同)。

（3）靈活性：

可以根據k的大小，靈活、分散的進行試驗。

（4）計算的嚴密性：

有嚴格的數學方法有效的消除系統誤差，故試驗精度高。

缺點

平衡不完全設計的缺點是：計算複雜。

平衡不完全區組設計

基本介紹