平行四邊形的四條邊的邊長的平方和等於對角線長的平方和。
基本介紹
- 中文名：平行四邊形四邊對角線平方和定理
- 表達式：2a2 +2b2 =c2+d2
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：幾何
- 適用領域範圍：平行四邊形
設平行四邊形ABCD，作DE⊥AB於E，CF⊥AB，交AB延長線於F
證明圖∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形
∴ AB//DC，AB=DC，AD=BC
∴ DE = CF（平行線間的距離相等）
∴ Rt△ADE≌Rt△BCF(HL)（兩個直角三角形完全相同）
∴ AE = BF
根據勾股定理
AC2 = AF2+CF2 =（AB+BF）2+ CF2
BD2 = BE2+DE2 =（AB-AE）2+ DE2 =（AB-BF）2+CF2
AC2 + BD2 =（AB+BF）2 + CF2 +（AB-BF）2 +CF2
= （AB2 + 2AB*BF + BF2）+ CF2 +（AB2 - 2AB*BF + BF2）+ CF2= 2AB2 + 2BF2 + 2CF2
∵ BF2 + CF2 = BC2（勾股定理）
∴ AC2 + BD2 = 2AB2 + 2BC2 = AB2 + CD2 + BC2 + AD2
利用餘弦定理.
在平行四邊形ABCD中,有：AB=DC、AD=BC、∠A=180°－∠B,∴cosA=－cosB.
由余弦定理,有：
AC^2=AB^2+BC^2－2AB×BC×cosB,······①
BD^2=AD^2+AB^2－2AD×AB×cosA=AD^2+DC^2+2BC×AB×cosA.······②
①+②,得：AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2.
在平行四邊形ABCD中,有：AB=DC、AD=BC、∠A=180°－∠B,∴cosA=－cosB.
由余弦定理,有：
AC^2=AB^2+BC^2－2AB×BC×cosB,······①
BD^2=AD^2+AB^2－2AD×AB×cosA=AD^2+DC^2+2BC×AB×cosA.······②
①+②,得：AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2.
利用向量點積.
在平行四邊形ABCD中,有：
向量AC=向量AB+向量AD,向量BD=向量BA+向量BC=－向量AB+向量AD.
∴|AC|^2=|AB|^2+|AD|^2+2向量AB·向量AD,······③
|BD|^2=|AD|^2+|AB|^2－2向量AD·向量AD.······④
③+④,得：|AC|^2+|BD|^2=|AB|^2+|AD|^2+|AD|^2+|AB|^2.
顯然有：AD=BC、AB=DC,∴AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2.
在平行四邊形ABCD中,有：
向量AC=向量AB+向量AD,向量BD=向量BA+向量BC=－向量AB+向量AD.
∴|AC|^2=|AB|^2+|AD|^2+2向量AB·向量AD,······③
|BD|^2=|AD|^2+|AB|^2－2向量AD·向量AD.······④
③+④,得：|AC|^2+|BD|^2=|AB|^2+|AD|^2+|AD|^2+|AB|^2.
顯然有：AD=BC、AB=DC,∴AC^2+BD^2=AB^2+BC^2+AD^2+DC^2.
