凱恩斯學派認為，交易性貨幣需求取決於收入水平和利率水平。其公式表明，交易性貨幣需求是收入Y的函式，隨著用於交易的收入數量的增加，貨幣需求量隨之增加，Y的指數說明，其增加的幅度會較小，即交易性貨幣需求有規模節約的特點。上述公式還表明，貨幣需求是利率r的函式，r的指數說明，交易性貨幣需求與利率的變動呈反方向變化，其變動幅度較利率變動幅度為小。
基本介紹
- 中文名：平方根法則
- 外文名：Square root rule
- 學科：經濟學
定義,表達形式,數學推導,問題來源,數學形式,評述,
定義
凱恩斯學派認為，交易性貨幣需求取決於收入水平和利率水平。其公式表明，交易性貨幣需求是收入Y的函式，隨著用於交易的收入數量的增加，貨幣需求量隨之增加，Y的指數說明，其增加的幅度會較小，即交易性貨幣需求有規模節約的特點。上述公式還表明，貨幣需求是利率r的函式，r的指數說明，交易性貨幣需求與利率的變動呈反方向變化，其變動幅度較利率變動幅度為小。
貨幣的交易需求不僅和收入有關，事實上和利率也有關，因為持有貨幣會失去利息收入，因而人們持有貨幣量對利率的變化也不能沒有反應。凱恩斯雖然也承認利率對貨幣需求有影響，但他把這種影響局限於投機需求上，而凱恩斯之後，西方經濟學家關於貨幣需求研究的重要貢獻之一就是強調利率在決定交易需求的大小上也是重要的。這一研究成果就是所謂交易需求的“平方根法則”。這一法則是由鮑莫爾和托賓提出的。過去人們通常認為托賓和鮑莫爾提出的貨幣需求的平方根法則是凱恩斯式的，但實際上它的基礎仍然是古典的總量經濟學，從後續的數學推導中會有詳細說明。
表達形式
“平方根法則”。其表達形式如下：Md=k√(Y/r）。表示：交易性貨幣需求是收入 Y 的函式，隨著用於交易的收入數量的增加，貨幣需求量隨之增加。 Y 的指數 1 / 2 ，說明其增加的幅度會較小，即交易性貨幣需求有規模節約的特點。這個式子同時又表明，貨幣需求是利率 r 的函式；而 r 的指數 -1/2 ，說明交易性貨幣需求與利率的變動呈反方向變化，其變動幅度較利率變動幅度為小。
數學推導
問題來源
假設Y為某人的月收入，其形式為債券或者是現金；b為每次變現的手續費；r為市場利率；n為每月變現次數。那么他必然需要考慮在債券收益和每次變現手續費之間權衡，獲取最大的利益，並且我們還假設他一個月的支出過程是均勻的，從而其貨幣需求也是均勻的。
數學形式
期初債券持有量應為(n-1)Y/n，現金持有量為Y/n；期末債券持有量為0，現金持有量為Y/n。平均債券持有量就是(n-1)Y/2n。那么考慮如下的最大化過程（持有債券收益的最大化，控制變數為變現次數n）
Max(n-1)Yr/2n-nb
一階條件為Yr/2n^2-b=0
解得n=√(Yr/2b）
其平均的現金持有量為Y/2n，將上述結果代入得
Md=√(Yb/2r）這就是平方根法則的數學表示，也是鮑莫爾模型的最大化結果
評述
可以看到，上述過程是基於理性經濟人的視角做的最最佳化問題，通過假設支出恆定排除了名義變數P的影響，r是債券收益，可視作實際利率，而且市場是出清的，實際上平方根法則的基礎仍然是古典的。
參考文獻：貨幣經濟學
