常曲率曲面

常曲率曲面有常高斯曲率曲面和常平均曲率曲面。一般常曲率曲面指的是常高斯曲率曲面。

一個高斯曲率在各點上均取相同值的曲面，我們稱這曲面為常高斯曲率的曲面。例如，平面就是一個常曲率k=0的曲面；球面則是一個具有常正曲率的曲面之例(但不是唯一的常正曲率曲面); 偽球則是具有常負曲率曲面之例(也非唯一的)。

常平均曲率曲面(surfaces with constant mean curvature)是一類重要的曲面，它是平均曲率H為常數的曲面。例如，球面是常平均曲率曲面，此外，將一橢圓在其平面內一條定直線l上滾動，其焦點所畫出的平面曲面C繞直線l旋轉所生成的旋轉曲面也是常平均曲率曲面。

基本介紹

• 中文名：常曲率曲面
• 外文名：surfaces with constant curvature
• 所屬學科：數學(微分幾何學)
• 相關概念：高斯曲率、偽球面、平均曲率等

常高斯曲率的曲面

基本介紹

常高斯曲率的曲面(surfaces with constant Gauss curvature)是一類重要的曲面，它是高斯曲率K為常數的曲面。在曲面上選擇適當的參數系，可以使：

當時，

當時，

當時，。

因為有相同常高斯曲率的曲面在局部上總是等距等價的，所以，K=0的曲面在局部上都與平面等距等價的；的曲面在局部上都與半徑為a的球面等距等價；的曲面在局部上都與偽球面等距等價。

偽球面

重物置於一直道之外，人用繩拖此重物並沿直道向前走時重物所經過的軌跡線叫曳物線。將此曳物線繞直道為軸旋轉一周后所形成的曲面稱為“偽球面”。羅巴切夫斯基等所發現的非歐幾何學可以在某種意義下在偽球面上實現。

圖1

偽球面(pseudo-sphere)是一類重要的曲面，它是高斯曲率為負常數的曲面，它是平面上的曳物線

繞z軸旋轉而成的曲面：

它在u=0的點處是不光滑的，因而是非正則的。在正則點，其高斯曲率為它可以作為羅氏幾何的一個模型。

常平均曲率曲面

常平均曲率曲面(surfaces with constant mean curvature)是一類重要的曲面，它是平均曲率H為常數的曲面。例如，球面是常平均曲率曲面，此外，將一橢圓在其平面內一條定直線l上滾動，其焦點所畫出的平面曲面C繞直線l旋轉所生成的旋轉曲面也是常平均曲率曲面。上述命題稱為德洛內定理，若曲線C的曲率半徑為R，C的法線被曲線C與定直線所截的長為N，則有關係式常數。