希爾伯特-施密特運算元

C₂類運算元稱為希爾伯特-施密特運算元，而相應的範數‖·‖₂稱為希爾伯特-施密特範數。

基本介紹

• 中文名：希爾伯特-施密特運算元
• 外文名：Hilbert-Schmidt operator
• 所屬學科：泛函分析

定義

固定希爾伯特空間上一組正交歸一基e₁,e₂,...，則H的一個運算元稱為希爾伯特-施密特運算元，若滿足

性質

希爾伯特-施密特運算元都是緊運算元。

簡介

施密特p類運算元

施密特p類運算元是緊運算元中重要的子類。

設H是可分的希爾伯特空間，𝓚(H)是H上的緊運算元全體，對於 T𝓚(H)

也是緊的，設其特徵值按大小順序為（按重複度重複編號）p>0,𝓚(H) 中滿足

全體記為 C_p(H) ，簡記為C_p，稱為 H 上的施凱特 p 類。

定義

若，則。當 1≤p<q，則。若p,q,r滿足

則。

特別重要的是p=1,2的情形。C₁和C₂類運算元分別稱為跡類運算元和希爾伯特-施密特運算元，而相應的範數‖·‖₁和‖·‖₂分別稱為跡範數和希爾伯特-施密特範數。

跡性質

設{e_n}是H的規範正交基，當T∈C₁時，T的跡tr(T)定義為

（此級數絕對收斂，其值不依賴基的選取），都是巴拿赫空間C₁上的連續線性泛函。設都是 H 的規範正交基，則

當時，

在C₂中可定義內積，則C₂按成為希爾伯特空間。