尚努埃爾引理

在數學的同調代數中，尚努埃爾（Schanuel）引理是一條簡易的基本結果，可用來比較一個模離投射性有多遠。

基本介紹

• 中文名：尚努埃爾引理
• 分類：同調代數、模論
• 領域：數理科學

敘述

設R是環，

0 → K → P → M → 0

0 → K' → P ' → M → 0

是兩條左R-模的短正合序列，P和P '是投射模，則K ⊕ P '同構於K ' ⊕ P。

證明

定義P⊕P'的子模如下，其中φ:P→M，φ':P' →M：

定義映射 π : X → P為自X投射第一個坐標至P。φ' 是滿射，所以對任何p ∈ X，都有q ∈ P ' 使得φ(p) = φ'(q)。故有(p,q) ∈ X，得 π (p,q) = p。因此π 是滿射。考慮π 的核：

由此可知有短正合序列

因為P是投射的，所以序列分裂，故有X ≅ K ' ⊕ P。同理可得

因此X ≅ P ' ⊕ K。結合X的兩等價式，結果得證。

套用

設 是M的一個投射分解，使得 是投射的，則M的每個投射分解都是如此。

證明

設 是另一個投射分解。考慮短正合序列

從尚努埃爾引理可知 ，而從假設知是投射的，故是投射模的直和項，因此也是投射的。

起源

史蒂芬·尚努埃爾在歐文·卡普蘭斯基1958年秋季學期芝加哥大學的同調代數課上發現這個證法。卡普蘭斯基在書上說：他在課上給出了一個模的投射分解的一步，並指出若在一個分解中這個核是投射的，則在所有分解中都是投射的，又說雖然命題簡單，但須過些時候才能證。尚努埃爾回應說這容易證，於是描述了大概，就是後來以其命名的引理。他們討論了幾天后，得到了完整的證明。