小布洛赫空間

布洛赫空間(Bloch space)的一個重要子空間是小布洛赫空間，記為B₀。布洛赫空間是一類重要的解析函式空間。

基本介紹

• 中文名：小布洛赫空間
• 外文名：Bloch space
• 領域：數學

概念

布洛赫空間的一個重要子空間是小布洛赫空間，記為B₀，定義如下：

這是B的可分的閉子空間。

布洛赫空間

布洛赫空間是一類重要的解析函式空間。設f(z)是單位圓D內的解析函式，若：

為有限數，則稱f(z)是布洛赫函式。全體這樣的函式構成以‖f‖_B為範數的巴拿赫空間，稱為布洛赫空間，並用B表示。布洛赫函式與著名的布洛赫定理密切相關。若f(z)在D內解析，|f′(0)|=|a₁|=1，布洛赫定理指出，存在絕對常數c>0使得f(D)包含一個以f(0)為心以c為半徑的單葉圓盤。定理中的常數c的最大值稱為布洛赫常數，記為c₀。c₀的準確下界是多少仍是個未解決的問題。若b表示f(D)內最大的單葉圓半徑，則有：

由此得到範數‖f‖_B的幾何解釋，即若f(z)=0，則除去一個常數係數，‖f‖_B就是f(D)內最大單葉圓盤的半徑。布洛赫空間的一個重要子空間是小布洛赫空間，記為B₀，定義如下：

這是B的可分的閉子空間。布洛赫函式有種種等價的描述，比如可用阿達馬(Hadamard，J.(-S.))的缺項條件來刻畫B和B₀。新近一個重要發現是，f(z)∈B(或B₀)的充分必要條件是對1<p<+∞，

或

其中

是D的奇點在a的格林函式。在伯格曼空間理論中，已知L_a(D)的對偶空間L_a(D)為B，B₀是L_a(D)的預對偶空間。由此得到：對於面積測度，B₀和B分別是零平均振動解析函式VMOA和有界平均振動解析函式BMOA的類似物。布洛赫函式空間有種種推廣，如α型布洛赫空間以及在雙曲型黎曼曲面上的推廣，後者顯示與單位圓情形有本質的差別。

布洛赫定理

布洛赫定理是關於閉圓上解析函式的單葉性的定理。該定理斷言：若f(z)在Δ={z||z|≤1}上解析，f(0)=0，f′(0)=1，則f(z)在一個圓s⊂Δ內單葉，且f(s)包含一個半徑為1/4的圓(單葉圓)。設F是滿足以下條件的函式族：f(z)在|z|<1解析，f(0)=0，f′(0)=1，對於F中的函式f，β(f)是f(Δ)所包含的單葉圓的半徑的上確界，則稱B= inf{β(f)|f∈F}為布洛赫常數。按照布洛赫定理，B≥1/4；由於f(z)=z∈F，所以B≤1.已經證明/4≤B≤0.47，但目前尚不知它的確切值。又設λ(f)=sup{r|r是f(Δ)所包含圓的半徑，f∈F}，則L=inf{λ(f)|f∈F}稱為蘭道常數。顯然B≤L。已經證明0.5≤L≤0.56，所以L>B。

布洛赫

法國數學家、物理學家。生於貝桑松。在土魯斯和巴黎工作。其主要貢獻在複變函數論和數學物理方面。他最早研究了亞純函式集合的值分布問題。1924年，他證明了後來以他的名字命名的布洛赫定理：由|Z|<1內的全純函式w=F(Z)=Z+…所作的一一保角映射所得到的w平面的覆蓋面都包含一個單葉圓盤，這一圓盤的半徑B是與F無關的正數。{B}的上確界被稱為布洛赫常數，這一常數被認為是複變函數論中最重要的常數之一。不久，他又從布洛赫定理出發，證明了超越整函式的反函式的黎曼曲面包含一個具有任意大半徑的圓盤。布洛赫在物理學方面也有重大貢獻。1948年因在數學物理方面的成就，布洛赫榮獲巴黎科學院的安里·貝克列爾獎金。