導出偶

導出偶又稱導出正合偶，是譜序列理論中一個與正合偶相關的概念，正合偶是由兩個雙分次模所組成的正合三角形，它是馬西(W.S.Massey)提出的，是譜序列理論一個重要概念。由正合偶可得出其導出偶，且由此可得出譜序列。

基本介紹

• 中文名：導出偶
• 外文名：derived couple
• 所屬學科：微分拓撲
• 提出者：馬西(W.S.Massey)
• 別名：導出正合偶
• 相關概念：正合偶，雙分次模，正合列等

定義

設(A,B,i:A→A,j:A→B,k:B→A)為正合偶，令d=j·k，則d=0，可以定義同調群H(B)=kerd/imd。

正合偶

定義導出偶為(A',B',i',j',k')，其中A'=i(A)，B'=H(B)，定義i'為i'(ia)=i(ia)，j'(a')=[ja]，k'[b]=kb。

導出偶

基本介紹

美國人W.Massey於1952年發表了的文章中引進正合偶(exact couple)概念：一對模以及三個同態：

圖1

稱為一個正合偶，如果 ，記作 或 。

設 是一個正合偶，若令 ，則顯然有d=0，故(C，d)是一個微分模，設 是其同調模，令 ，因 ，從而h誘導了同態 ，若令 為 在 上之限制，易見存在確定的同態 ，使圖表

圖2

仍構成一個正合偶，稱為 的導出偶。

如果從一對雙分次的模A，C和齊次同態 構成的一個正合偶出發，重複構作導出正合偶，便得一個微分模序列 ，可以證明，這樣得到的微分模序列實際上是一個譜序列。

Massey說，Leray譜序列中上同調的乘法結構沒有包括進去。儘管有這點不足，但作為Leray譜序列的一個導引，還是很有價值的，胡世楨的書和廖山濤的講義，是按這種方式陳述的，讀者可以參考。

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正合偶

正合偶(exact couple)是由兩個雙分次模所組成的正合三角形，它是馬西(W.S.Massey)提出的，是譜序列理論一個重要概念。由正合偶可得出其導出偶，且由此可得出譜序列。若 與 為兩個雙分次模， 與 是分次模映射，依次有次數 ，使在下列三角形的每個頂點處都正合，

亦即有長正合序列：

則稱 連同 與 組成一個正合偶，記為 。

我們可以利用函子來作正合偶，即有下面定理。

定理1設已給兩個加法共變函子

且滿足：

(i) 是左正合的；

(ii) 當 時， ， 內射左 一模 。

若A是左R-模，我們取定A的一個內射分解

並記 。

命：

則存在雙次數分別是 的雙次映射 使 是一個正合偶，也即有正合三角形

圖3

雙分次模

雙分次模(bigraded module)是分次模概念的推廣，指一些雙指標的A模所組成的序列。若M={M_pq|p，q∈Z}是由A模M_pq所組成的序列，Z是整數集，稱M={M_pq|p，q∈Z}為一個雙分次模或稱為雙次模。若N={N_pq|p，q∈Z}也是一個雙分次模，m與n為一對整數，則模同態f_pq：M_pq→N_p+m，q+n的集合f={f_pq|p，q∈Z}稱為由M到N的[m，n]次的分次模映射。