對數式

對數式(logarithmic expression)是一類特殊的解析式，指含有對未知數進行對數運算的解析式，如log₂(x²-1)，log_ax+b都是關於x的對數式，簡稱對數式。

基本介紹

• 中文名：對數式
• 外文名：logarithmic expression
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：初等代數（對數）
• 簡介：有對未知數進行對數運算的解析式

基本概念

定理 如果a是一個不等於1的正實數，那么對於任意給定的正實數N，都存在惟一的實數b，使得a^b=N。

定義 設a是一個不等於1的正實數，N是任意給定的正實數，如果實數b使得等式a^b=N成立，那么b叫做以a為底的N的對數，記作log_aN=b，N叫做真數。

根據對數定義，指數式a^b=N和對數式log_aN=b是等價的。在處理有關問題時，它們可以互相轉化，從而簡化解題過程。

相關性質

對數有以下幾個主要性質，其中a>0，a≠1，M>0，N>0。

1．基本性質

性質1 零和負數沒有對數。

性質2 底的對數等於1，log_aa=1。

性質3 1的對數等於0，log_a1=0。

2．運算性質

性質4 log_a(MN)=log_aM+log_aN。

性質5 log_a(M/N)=log_aM-log_aN。

性質6 log_aNⁿ=nlog_aN。

3．常用恆等式

性質7 對數恆等式

性質8 對數換底公式

推論1

推論2

推論3

例題解析

【例1】已知 ，求

證明：由已知得 ，即 且 ，即

因此

【例2】已知求證

證明：設已知比例式的比值為k，得

以得

注意到均為不等於1的正整數，所以,由上式可知

同理

所以