射影表示

射影表示是與相應射影線性群密切相關的一種表示。

當K為特徵0的代數封閉域時，有限群G的不可約射影示的次數為G的階的因子。

基本介紹

• 中文名：射影表示
• 外文名：projective representation
• 適用範圍：數理科學

定義

設G為一個群，K為域，n為正整數。把K上n維線性空間V的全線性群記作GL(V)。G 到GL(V)的映射P稱為G 的具有因子集a的射影表示，如果對所有的g₁，g₂，∈ G，均有

這裡 a 為積集合G × G到乘法群Kˣ的映射。G的射影表示P稱為不可約的，如果V中沒有非平凡子空間W，使W在一切P(g),g ∈ G下不變。

設GL(V₁)，GL(V₂) 分別是K上線性空間V₁，V₂的全線性群。P₁和P₂分別是G到GL(V₁)內的，和到GL(V₂) 內的射影表示。說P₁，P₂是等價的，如果有V₁到V₂的同構映射T使對一切 g ∈ G，

成立，這裡c為G到Kˣ的映射。

當K為特徵0的代數封閉域時，有限群G的不可約射影表示的次數為G的階的因子。

表示論

為了了解一個群的構造，我們常常研究它到某個具體的群內的同態。我們將這種同態稱為表示。最常見的具體的群有矩陣群（即矩陣組成的群）和置換群，所以常見的表示就是矩陣表示和置換表示。在矩陣表示的情況下，人們自然地把矩陣當成線性變換來看待，從而可以使用線性代數的豐富成果以得到深入的結論。