《實代數幾何方法及其在多項式最佳化中的套用》是依託南昌大學，由曾廣興擔任項目負責人的地區科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：實代數幾何方法及其在多項式最佳化中的套用
- 項目類別：地區科學基金項目
- 項目負責人：曾廣興
- 依託單位：南昌大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目旨在通過實代數幾何中有效方法, 處理非線性的最佳化和多目標最佳化問題，其中目標函式為實多項式（或有理）函式，且可行區域為半代數子集。現存的一些算法，在最優解存在的假定下只能給出其逼近值，並不能有效地判定最優解的存在性。本項目將研究多元多項式和有理函式的全局下確界和全局最小值，提出精確地計算全局下確界的算法，並在下確界為有限的情況下判定該下確界能否達到。在此基礎上，我們將進一步研究多項式和有理函式在約束條件下的下確界和最小值。同時，我們將考慮多項式多目標最佳化問題，期望獲得一個有效方法，以判定非控解（Pareto最優解）的存在性。此外，我們將處理其他有關問題，比如計算有理函式的半正定區間和捕獲半代數集的每個半代數連通分支中至少一點。.本項目將基於著名的吳方法，建立相關的有效算法。我們將採用所謂的區間表示法和有理單元表示分別精確地表示下確界（與最小值）和最小值點（與非控解）。
結題摘要
本項目的任務是通過實代數幾何中一些有效方法, 處理實多元多項式和實多元有理函式的最佳化問題。在資助期間，我們共撰寫了20篇學術論文，其中15篇正式發表，其餘5篇已投稿於有關學術刊物。 本項目完成的主要研究工作如下: 提出了半代數集的“局部臨界點”以及多項式與多項式升鏈的“修正結式”的新概念，並在理論方面建立了相關結果；提出了一些計算多元多項式和多元有理函式的全局下確界精確值的新算法，並在全局下確界為有限的情況下，給出了一個判定其可達性的方法。研究了由多項式函式的最小值點所組成的半代數連通分支，由此證明了我們的算法可在每個半代數連通分支上尋求到至少一個最小值點；研究了實多元多項式在由多項式等式所構成的約束條件下的極小化問題，提出了一個有效的算法，無需任何假定可獲得有限個單元多項式, 使得受約束的下確界為某個多項式的根；隨後獲得相關算法，使得可求出受約束的精確下確界，判定其可達性，並在可達時求出一個最小值點；通過把不等式轉化成等式，研究了實多元多項式在由多項式不等式所構成的約束條件下的極小化問題。通過捕獲局部臨界點，獲得了一個可有效地判定給出的實多元有理函式在分母零點處是否存在極限的有效方法，並通過實賦值理論獲得有關有理函式極限的進一步結果；通過多項式的正則鏈，提出了一個判定多項式半正定性的新方法；建立了計算等式約束下多項式在閉或開長方體上的最小值的有關算法。此外，我們研究了與實代數幾何有關的一些其它問題。多項式和有理函式的最佳化是一個NP-難問題。現存的一些方法，比如半正定鬆弛法，未涉及可達性與求最佳化點，而需附加某些條件，且計算出的最佳化值往往是近似的。通過計算機代數系統Maple和軟體Wsolve，我們的算法已編製成處理實例的通用程式。
