基於吳(文俊)方法的實代數幾何中符號計算

《基於吳(文俊)方法的實代數幾何中符號計算》是依託南昌大學，由肖水晶擔任項目負責人的地區科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：基於吳(文俊)方法的實代數幾何中符號計算
• 項目類別：地區科學基金項目
• 項目負責人：肖水晶
• 依託單位：南昌大學

項目摘要

符號計算是計算實代數幾何的一個重要內容，它主要包括如下課題：判定實多項式方程組的可解性和半代數系統的相容性；在有解的情況下，尋求方程組（或半代數系統）的全部解或適合特定條件的部分解，使得所求解被精確地表示為某種符號形式；計算實簇或半代數集的實維數。為處理相關的判定問題與計算問題，本項目將著眼於實代數集和半代數集中具有較多數學信息的某些特殊點，比如區間端點，極限點，實奇異點，孤立點和各種臨界點，並建立捕獲這些特殊點的一些有效算法。. 本項目將基於著名的吳方法，根據所涉及的特殊點的特有信息，把實多項式系統分解成某些多項式三角列以及它們的“增廣”初式集，使得這些“增廣”初式集作為不等方程組可體現出實多項式系統的特殊零點的相關數學信息。本項目將按照這一思路建立有關算法，使得這些算法可通過計算機軟體Maple和wsolve，可編製成處理實例的通用程式。

結題摘要

本項目的任務是通過著名的吳（文俊）方法， 處理一些實代數幾何中符號計算問題。在資助期間，我們共撰寫了13篇學術論文，其中8篇正式發表，其餘5篇已投稿於有關學術刊物。 本項目完成的主要研究工作如下: 基於吳方法（第二零點分解定理），通過兩種不同的途徑分別建立了新的有效算法，使得在多項式組實零點集的每個半代數連通分支中能尋獲到至少一點；解決了等式約束條件下多項式極小化問題，使得可精確地求出受約束的下確界，判定有限下確界的可達性，並在可達時有效地尋找出一個最小值點；通過Sturm定理，獲得了實二元有理函式在分母零點處是否存在極限的一個有效判定方法；通過多項式組的普通三角分解，進一步改善了多項式半正定性的一個判定方法；將實代數幾何中著名的點定理（實零點定理，正點定理和非負點定理）推廣到交換環上矩陣。此外，一些有關擬連續偏序集，擬連續格和完備交半格的結果被獲得。 與現存文獻中方法相比較，我們尋求多元多項式系統的實零點的新方法既不涉及多項式的無限小變形，又不涉及所謂的中心點的選取。等式約束條件下的多項式極小化是一個NP-難問題。現存的一些方法常要求約束多項式組滿足某些條件，也未涉及尋求最小值點，且計算出的約束下確界往往是近似的。為了判定實二元有理函式在分母零點處是否存在極限，現存方法涉及Puiseux級數的計算，同時要求分母零點的孤立性。我們的方法對分母多項式的零點沒有任何假定條件，也不涉及Puiseux級數的計算。作為判定半正定多項式的進一步改善，新算法僅需要普通的多項式系統三角分解，且減少了一些三角分解的步驟。通過計算機代數系統Maple和軟體Wsolve，這些算法都已編製成處理實例的通用程式。