《基於實代數幾何的多項式最佳化方法研究》是依託大連理工大學,由郭峰擔任醒目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：基於實代數幾何的多項式最佳化方法研究
- 依託單位：大連理工大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：郭峰
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究基於實代數幾何的多項式最佳化方法及相關問題，其特點是利用平方和等實代數幾何理論，將多項式最佳化等相關問題與半定規劃問題結合起來，使我們在多項式時間內可以得到問題的近似解，因此在理論與實際方面都具有重要的意義。近十幾年來，該研究領域方興未艾，成果豐富，同時又有許多亟待解決的問題。本項目主要研究的課題包括：利用截斷切簇理論和半定規劃等工具，研究多項式函式退化關鍵點類型的判別準則，進而得到多項式函式局部最優解的驗證方法；結合廣義關鍵值的相關理論，研究非緊緻可行域上多項式最佳化問題的最優值函式及有效的半定鬆弛方法；對於帶有多項式矩陣不等式限制條件的多項式最佳化問題，通過分析其最優性條件與局部-全局準則的關係，研究其矩陣形式的半定鬆弛方法的有限收斂性等。這些研究內容具有創新性，挑戰性和實際套用價值。近年來，我們在該領域所做的工作和取得的成果為本項目提供了堅實的研究基礎與可行的研究方案。
結題摘要
本項目主要研究的是基於實代數幾何的多項式最佳化方法及相關問題。這類問題的特點是所涉及的函式為多項式函式，所涉及集合為基本半代數集，很多最佳化問題可以歸結為此。對此，我們可以利用計算代數幾何及實代數理論，來分析問題解的代數性質或者得到問題全局解的鬆弛方法，這是用傳統最佳化方法很難做到的，因此這類研究具有重要的理論意義和套用價值。當問題所涉及的集合為緊緻基本半代數集時，關於問題的全局解方面的研究，在已有工作中已經取得了許多重要的結果。本項目主要致力於在非緊緻情形下，多項式最佳化相關問題的解決以及相關問題局部解方面的研究。本項目的主要研究內容和成果如下：（1）我們研究了多項式函式的退化關鍵點類型的判定問題，它可看作是多項式最佳化問題局部解的判定問題。通過定義和計算相應的可信半徑，我們將此問題轉化為零維系統的實根孤立問題，從而給出了符號的判定方法；（2）我們研究了非緊緻基本半代數集凸包的閉包的半定表示方法，通過齊次化技巧，給出了改進的theta body 和Lasserre 鬆弛兩類半定表示集合序列，並對其收斂性做了分析；（3）我們研究了給定代數集實數部分集合上含參數的線性目標函式的最佳化問題，在可行域非緊緻或者非光滑情況下，給出完備算法劃分參數值空間並在每一划分區域給出最佳化問題最優值函式的表示多項式；（4）我們研究了半無限多項式規劃問題的鬆弛方法，在指標集緊緻和非緊緻兩種情況下，我們分別給出問題的線性規劃和半定規劃鬆弛方法，從而可以得到問題最優值的具有收斂性的上界和下界；（5）為了將多項式最佳化方法套用到隨機微分方程解的近似問題中，我們研究了由分數布朗運動驅動的隨機微分方程解的估計和刻畫，這方面成果為本項目的後續工作奠定了基礎。
