凸代數幾何中的若干問題研究

《凸代數幾何中的若干問題研究》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由支麗紅擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：凸代數幾何中的若干問題研究
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：支麗紅
• 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院

項目摘要

本項目主要運用凸分析、半定規劃和實代數幾何中的關鍵理論和工具研究基本半代數集的凸包的譜多面體表示或近似、基本半代數集上的參數化最佳化問題、凸集的提升和錐分解以及（半）代數系統求解。 當所考慮的集合緊緻和光滑時， 前三個問題的解決主要是基於正零點定理、半正定鬆弛、KKT條件和凸集的極點表示等。而在非緊緻或非光滑情形，正零點定理、KKT條件等可能不成立。本項目將重點研究如何套用提升、投影和分解等技巧以及凸分析和實代數幾何中的關鍵理論和技術將緊緻光滑情形下上述問題的相關結論推廣到一般情形。當（半）代數系統有無窮多實解時，給出其矩量矩陣半定鬆弛的終止準則並得到系統相應實根理想的一組基。

結題摘要

本項目主要運用凸分析、半定規劃和實代數幾何中的關鍵理論和工具研究基本半代數集的凸包的譜多面體表示或近似、基本半代數集上的參數化最佳化問題、凸集的提升和錐分解以及（半）代數系統求解。 當所考慮的集合緊緻和光滑時， 前三個問題的解決主要是基於正零點定理、半正定鬆弛、KKT條件和凸集的極點表示等。而在非緊緻或非光滑情形，正零點定理、KKT條件等可能不成立。本項目重點研究了如何套用提升、投影和分解等技巧以及凸分析和實代數幾何中的關鍵理論和技術將緊緻光滑情形下上述問題的相關結論推廣到一般情形。 我們給出了非緊緻基本半代數集凸包具有譜多面體表示或逼近的充要條件。我們將凸體的錐舉起定理擴展到一般的閉凸集情形. 套用相應的鬆弛運算元來刻畫它的推廣錐舉起。我們研究了實代數簇上線性函式的最佳化問題，證明了如果光滑的不可約實代數簇的凸閉包的徑向錐是有向的，則其相應對偶代數簇的定義的不可約多項式也是最佳化問題的最優值函式。相應的結論也推廣到了非光滑的情形。我們研究了多項式函式的退化關鍵點類型的判定問題，通過定義和計算相應的可信半徑，將此問題轉化為零維系統的實根孤立問題，從而給出了符號的判定方法；對於線性半無限多項式規劃問題，基於正零點定理，我們分別給出問題的線性規劃和半定規劃鬆弛方法，對於更廣義的凸半無限多項式規劃問題，我們給出了其可行域的近似半定表示方法，並進一步給出了該類問題的半定規劃鬆弛方法。我們通過將幾何對合理論與半正定矩量矩陣的性質相結合,提出了正維情形下半正定鬆弛方法終止的判定準則。我們還給出一個機率算法計算理想的實根理想的所有極小素理想的生成元，算法的複雜度關於變元個數是單指數的。對於一般的情形，我們給出一個機率算法計算實根理想的所有素理想的有理參數化表示，算法的複雜度關於理想的維數是雙指數的，但對於變數是單指數的。相應的算法也被推廣到一般半代數集情形。