基本介紹
- 中文名：完全聚點
- 外文名：complete accumulation point
- 性質：一類特殊的聚點
- 所屬學科：數學
- 所屬問題：一般拓撲學
定義,相關概念,
定義
若
為
的聚點，則對於
的任意鄰域
，有
，還可根據
的基數而將聚點分類。當
的基數是
以上時，稱
為
的凝聚點(condensationpoint)，當對所有的鄰域
的基數都等於
的基數時，稱
為
的完全聚點或最大聚點。
相關概念
定義1 聚點 
為子集A的聚點(可能
)，是指
的任一開鄰域含
的點，等價於
含於
的閉包(當
第1可數時，等價於
是
中點列的極限點；進而
為第1可數且
時(如度量拓撲)，等價於
為A的互異點構成的點列的極限)。聚點集
稱導集。非聚點稱為孤立點。
，即閉包=導集U原集(觸點=聚點和原集點)。A為閉集
(即
)。A的閉包的余集稱為A的外部(即非觸點集)，閉包與余集閉包之交為邊界。若閉包
則稱A在X中稠密。點列
收斂於
(稱為極限)是指：對於
的任一鄰域
，存在
，使當
時
。點
稱為A的完全(最大)聚點，是指
的任一鄰域U與A的交的基數等於A的基數。一點
為閉集(一點閉集)若且唯若
中任一點
有開鄰域不含
。X中任一點為閉集相當於X為
。
定義2 設
為
的一點，A為X的子集，若
，則
稱為A的聚點(英accumulation point)。A的聚點集稱為A的導集(derived set)，以
或
表示之。
與
的任意鄰域最少含有
以外的
的一個點，二者是等價的。
的點稱為
的孤立點(isolated point)，僅由孤立點組成的集合(
時)稱為孤點集(isolated set)或離散集(discrete set)。當
的任意非空子集都具有孤立點時稱
為無核集(scattered set)。當
不具有孤立點時(
時)，稱
為自密集(dense in itself)。
的自密的子集中最大者稱為
的自密核(德insichdichterKern)。當
時稱
為完備集(perfect set)。
緊緻性 這是
中有界集的推廣。若拓撲空間X的任意開覆蓋有有限子覆蓋，則稱X為緊(致)的。等價於以下每一條：(1)若一閉集族的任意有限子族有交，則全族有交；(2)無限子集總有完全聚點；(3)有向點族總有收斂子族(點族有向是指：點族有半序，且其有限子集上方有界(不一定屬於此子集))。子集A是緊子集是指作為子拓撲空間A是緊的(相當於A的“開集屬於X的開覆蓋”總有有限子覆蓋)。緊拓撲空間的閉子集是緊的。Hausdorff空間中緊子集是閉的。故緊Hausdorff空間正規。緊X上的連續映射
的象
緊；再若
為Hausdorff，則
為閉映射；再若
為雙射，則
為同胚。直積空間是緊的若且唯若各分空間是緊的。緊Hausdorff空間是正規的，可賦予距離等價於第2可數。離散空間中僅有限集是緊的。非緊的X可增點
而“一點緊化”：開集為原開集，以及含
的子集而余集在X中緊閉者。
