完全平方公式

完全平方公式即(a+b)²=a²+2ab+b²、(a-b)²=a²-2ab+b²。

基本介紹

• 中文名：完全平方公式
• 外文名：Perfect square trinomial
• 學科：數學
• 公式：（a±b）2=a2±2ab+b2

定義

兩數和的平方，等於它們的平方和加上它們的積的2倍。

（a+b）²=a²﹢2ab+b²

兩數差的平方，等於它們的平方和減去它們的積的2倍。

﹙a－b﹚²=a²﹣2ab+b²

該公式是進行代數運算與變形的重要的知識基礎，是因式分解中常用到的公式。該知識點重點是對完全平方公式的熟記及套用。難點是對公式特徵的理解(如對公式中積的一次項係數的理解等）。

學習方法

公式特徵（重點）

完全平方公式的轉換

學會用文字概述公式的含義:

兩數和（或差）的平方，等於它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍。叫做完全平方公式．為了區別，我們把前者叫做兩數和的完全平方公式，後者叫做兩數差的完全平方公式。

這兩個公式的結構特徵：

1. 左邊是兩個相同的二項式相乘，右邊是三項式，是左邊二項式中兩項的平方和，加上或減去這兩項乘積的2倍；
2. 左邊兩項符號相同時，右邊各項全用“+”號連線；左邊兩項符號相反時，右邊平方項用“+”號連線後再“-”兩項乘積的2倍（註：這裡說項時未包括其符號在內）.
3. 公式中的字母可以表示具體的數（正數或負數），也可以表示單項式或多項式等數學式．

公式口訣

首平方，尾平方，首尾相乘放中間。

或首平方，尾平方，兩數二倍在中央。

也可以是：首平方，尾平方，積的二倍放中央。

同號加、異號減，負號添在異號前。（可以背下來）

即

（注意：後面一定是加號）

公式變形

變形的方法

（一）、變符號：

例1：運用完全平方公式計算：

（1）

（2）

分析：本例改變了公式中a、b的符號，以第二小題為例，處理該問題最簡單的方法是將這個式子中的(-a)看成原來公式中的a，將(-b)看成原來公式中的b，即可直接套用公式計算。

解答：

(1)原式=

(2)原式=

（二）、變項數：

例2：計算：

分析：完全平方公式的左邊是兩個相同的二項式相乘，而本例中出現了三項，故應考慮將其中兩項結合運用整體思想看成一項，從而化解矛盾。所以在運用公式時，(3a+2b+c)²可先變形為，直接套用公式計算。

解答：原式=

（三）、變結構

例3：運用公式計算：

(1)

(2)

(3)

分析；本例中所給的均是二項式乘以二項式，表面看外觀結構不符合公式特徵，但仔細觀察易發現，只要將其中一個因式作適當變形就可以了。

解答：

（1）原式=

（2）原式=

（3）原式=

套用

例4：計算：

（1）

（2）

分析：本例中的999接近1000，100.1接近100，故可化成兩個數的和或差，從而運用完全平方公式計算。

解答：

（1）原式=

（2）原式=

公式的變形：熟悉完全平方公式的變形式，是相關整體代換求知值的關鍵。

例5：已知實數a、b滿足(a+b)²=10，ab=1。

求下列各式的值：

（1）；

（2）

分析：此例是典型的整式求值問題，若按常規思維把a、b的值分別求出來，非常困難；仔細探究易把這些條件同完全平方公式結合起來，運用完全平方公式的變形式很容易找到解決問題的途徑。

解答：

（1）原式=

（2）原式=

注意事項

1. 左邊是一個二項式的完全平方。
2. 右邊是二項平方的和，加上（或減去）這兩項乘積的二倍，a和b可是數，單項式，多項式。
3. 不論是(a+b)²還是(a-b)²，最後一項都是加號，不要因為前面的符號而理所當然的以為下一個符號。
4. 不要漏下一次項。
5. 切勿混淆公式。
6. 運算結果中符號不要錯誤。
7. 變式套用難，不易於於掌握。
8. 最重要的是做題小心謹慎。