奇異攝動方法理論開端於普朗特的邊界層理論，是一個豐富的並持續發展的供數學、物理、及其它學科的工作者們探索的領域。現存的解決奇異攝動問題的方法有幾種。對於空間域上的問題，有匹配漸近展開法和WKB近似法；對於時間域上的問題，有龐加萊－林德斯泰特方法（Poincare-Lindstedt）、多尺度方法（multiple-scale）、和周期平均方法(periodic averaging)。
基本介紹
- 中文名：奇異攝動法
- 外文名：singular perturbation method
- 時間：1892年
- 倡導人：H.龐加萊
- 又名：小參數法
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發展歷史
奇異攝動理論是1892年由H.龐加萊倡導的。奇異攝動法本是一種求微分方程漸進解的方法，最早見於1904Prandtl寫的一篇關於求解流體動力附面層問題的論文。後來經過Tikhonov、Vasileva等其他學者的工作得到了進一步的發展。近幾十年來，在控制工程方面奇異攝動法的套用研究是一個很活躍的學術領域。
對於無限域含長期項的問題，可對自變數作變換，即採用M.J.萊特希爾提出的變形坐標法；對於最高階導數項含小參數的邊界層型問題，則採用L.普朗特從物理直覺提出的匹配漸近展開法，即將內解與外解按匹配條件對接起來的方法。20世紀50～60年代 ，這一方法得到了充分發展，其中包括P.A.斯特羅克以及J.D.科爾和J.凱沃基安的多重尺度法，H.克雷洛夫、H.H.博戈留博夫和U.A.米特羅波利斯基的平均法，G.B.威瑟姆的變分法，並形成套用數學的一門新的學科分支 。中國和華裔學者對奇異攝動法的發展作出了傑出的貢獻 ，如郭永懷對變形坐標法的推廣被錢學森稱為PLK法 、錢偉長的合成展開法 、林家翹的解析特徵線法等。奇異攝動法是從事理論研究的重要數學工具之一，對於弱非線性問題的分析甚為有效。該法在基礎和套用研究中已被廣泛套用於微分方程、軌道力學、非線性振動、固體力學、流體力學、大氣動力學、動力海洋學、聲學、光學、電漿物理學、量子力學等領域。
奇異攝動問題
奇異攝動問題是指數學上一個含有小參數的問題，但不能夠直接以把小參數設為零來求得所有近似解的問題。在描述奇異攝動問題的方程里，小參數作為係數出現在含有最高階次方或導數項里，如果按照常規攝動法把小參數設為零，將會導致方程降階從而不能得到所有的近似解。奇異攝動的來源是這類問題里存在多個尺度。為了求得在每個尺度上的有效近似解，需要將方程用不同尺度規範化以得到新的方程。而新的方程則可以用常規攝動法來求近似解。當一個被攝動的問題的解可以用一個漸近展開來作為問題的整個域上的無論是空間還是時間上的近似解時，這樣的情形被稱作常規攝動.
通常, 一個常規攝動問題的零階近似解是通過把小參數 ε 設零來求得。 這相當於只取漸近展開的第一項以求得相應的近似解。這個方法不能直接作為第一步來求解一個奇異攝動問題。一個奇異攝動問題發生於當問題里的小參數出現在方程的含有最高階運算元的項的係數里†。因此如果幼稚地把小參數設零會改變問題的本質。對於微分方程，部分邊界條件將不能被滿足；對於代數方程，解的總數被減少了。
優點特質
- 奇異攝動法可以把一個高階系統的求解任務分解成兩個（或多個）低階系統的求解問題。它先忽略快變化現象以便得到問題的簡化解。這個穩態解代表在系統中主導主導作用的慢變化現象，它使人們便於掌握問題的本質。然後第二步再在“拉伸”的時間尺度上邊界層修正項，它是忽略快變化的簡化解與完全解之間的差異的一次近似。將簡化解加上修正項就可以提高解的近似精度。這樣做不僅可以降低處理問題的階次，而且由於快、慢變數的分離消除了問題的“剛性”，從而使所需計算量大幅度下降。
- 奇異攝動法的基礎並不是系統的線性特性而是系統的時間尺度特性。因此它不僅適用於線性時不變系統，而且也適用於線性時變系統。這使得它的套用範圍比較廣泛。
研究方向
幾何奇異攝動
空間對照結構理論
空間對照結構是蘇聯Thxohob學派在20世紀90年代末提出的概念。空間對照結構也稱強反差結構，是指在含小參數的多尺度奇異攝動系統中，退化系統有多個根，而原問題的真解則是由多個根的不同不同部分跳躍而成並產生的複雜結構。
奇異攝動邊值問題
低階微分方程奇異攝動邊值問題的研究成果很多，但對三階和三階以上的微分方程奇異攝動問題、非線性方程奇異攝動非局部邊值問題的研究成果則不多見。
奇異攝動計算方法
近20年來，人們提出各種方法來解決這個問題，其中最著名的的是擬合格線法。目前國外從事奇異攝動計算的學者，主要採用擬合格線法。此外，部分學者提出BVT（boundary value technique）法，即將問題分為邊界層區和非邊界層區。
奇異攝動控制
奇異攝動控制的主要研究理論有：線性奇異攝動系統的穩定性分析與鎮定，奇異攝動系統的最優控制，非線性奇異振動系統，奇異攝動控制系統的能控能觀性，魯棒穩定性，採樣系統，變結構控制，雙線性系統的最優控制等。
