天體力學定性理論

主要研究天體在長時間（包括趨於無窮）內的運動狀態以及軌道在運動方程奇點（無窮大值﹑多值或不定值）附近的性質﹐為龐加萊等人在二十世紀所創立。

理論

主要研究天體在長時間（包括趨於無窮）內的運動狀態以及軌道在運動方程奇點（無窮大值﹑多值或不定值）附近的性質﹐為龐加萊等人在二十世紀所創立。這裡所說的長時間是相對的﹐視各種具體情況而定﹐如對於離地面很近的（500公里以下）人造衛星來說﹐幾個月就算很長了﹔而對於大行星來說﹐幾千年也不算長。由於電子計算機的發展﹐一些定性結論﹐如俘獲問題和特殊軌道的存在性等﹐可用數值方法來判定。天體力學定性理論也屬於數學中常微分方程定性理論的範疇﹐不少數學家也對此進行過研究。天體力學定性理論與拓撲學、微分方程定性理論緊密聯繫。這種理論近二十年發展較快﹐主要是針對三體問題﹐大致可歸納為三方面。

用途

一

研究天體在緊密接近時軌道劇烈變化的情況

⒈碰撞問題﹐研究碰撞前後的軌道變化。此時天體間距離趨於零﹐運動方程（分母中有距離的因子）出現奇點。如果能找到一種辦法﹐使奇點在運動方程中消去﹐這種過程就稱為正規化。到目前為止的研究表明﹕二體碰撞可以正規化﹐碰撞前後的運動狀態類似於彈性碰撞。三體碰撞還不能正規化﹐故在討論三體問題的解時﹐要迴避三體碰撞情況（見變換理論）。

⒉俘獲和交換問題。若三個天體中有一個天體的軌道原來是雙曲線軌道（相對於三個天體的質量中心）﹐在緊密接近後變為橢圓軌道﹐這種情況稱為俘獲﹔如果另一個天體與此同時從橢圓軌道變成雙曲線軌道﹐則稱為交換。俘獲和交換問題在天體演化研究和人造天體軌道設計中都起著重要作用（見俘獲理論）。

二

研究時間趨於無窮時的運動特性

三體問題在時間趨於無窮時﹐有16種運動類型。例如雙曲線型（三個天體間的相互距離都與時間t成正比地趨於無窮）﹐有限型或橢圓型（三個天體間的相互距離都是有限的）﹐拋物線型（三個天體間的相互距離都與時間t的2/3次方成正比地趨於無窮）﹐振動型（三個天體間的相互距離既沒有界限﹐也不趨於無窮）﹐雙曲線-橢圓型（兩個天體間距離是有限的﹐另一個天體同它們的距離則趨於無窮）等。

三

研究運動的全局性質

所謂全局是指全部時間範圍﹐即從負無窮到正無窮。當時間趨於正無窮時﹐有16種運動類型﹔而時間趨於負無窮時﹐也同樣有16種類型。因此﹐從全局看來﹐時間由負無窮到正無窮時﹐可以組合成為16=256種運動類型。如果在時間趨於正負無窮時﹐都至少有一個天體趨於無窮遠﹐則相應各種類型運動的條件基本上都已建立。

在有限型的運動中﹐對一些特殊軌道的存在性和穩定性的研究占有重要地位。其中討論得最多的是周期軌道（軌道是閉曲線）和擬周期軌道（軌道永遠在某一個確定的閉曲面上﹐如環面）。周期解理論是由龐加萊等人建立的﹐現已成為天體力學中相對獨立的研究領域。擬周期軌道雖然在二十世紀初就已提出﹐但直到六十年代以後﹐才受到重視。卡姆（KAM）理論的重大成果之一﹐就是證明在一定條件下存在擬周期軌道﹐並用它來探討太陽系的穩定性問題﹐從機率意義上認為太陽系是穩定的。

在運動全局性的研究中﹐三體問題的運動區域問題在七十年代有重大發展﹐美國和中國的天文學家都分別用拓撲學方法解決了一般三體問題流形M 的拓撲結構問題。還有不少人探討了三體相對運動中的傾角和緯度變化範圍。

參考書目

C.L.Siegel and J.K.Moser﹐Lectures on Celestial Mechanics﹐Springer-Verlag﹐Berlin﹐1971.

Y.Hagihara﹐Celestial Mechanics﹐Vol.V﹐MIT Press﹐Cambridge﹐1976.