《天體力學中周期軌道的研究》是依託山東大學，由周青龍擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：天體力學中周期軌道的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：周青龍
- 依託單位：山東大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目研究天體力學中周期軌道的性質。周期軌道(或周期解)是天體力學中的重要的研究對象。由於天體力學系統的複雜性，尋找並研究周期軌道的有關性質就成了天體力學的重要課題之一。其中關於這些周期軌道的定性與定量性質，尤其是尋找某些周期軌道以及這些周期軌道穩定性方面還有許多未解決的問題,它們也是非線性分析、辛幾何、動力系統等自然科學領域關心的重要問題。本項目致力於對各類天體力學系統，包括經典三體問題、限制性三體問題、更一般的N體問題中的周期軌道以及更一般的周期軌道進行研究，建立它們存在性條件、線性穩定性的相關條件，並結合對應的Maslov-型指標和其他一些相關的工具對它們的性質作出更好的刻畫。此外，本項目還將利用自伴運算元的譜理論、譜流理論、跡公式理論、Jcobi矩陣理論以及Sturm-Liouville方程理論的方法去研究這些周期軌道的更進一步的性質。
結題摘要
本項目研究天體力學中周期軌道的性質，特別是周期軌道線性穩定性。主要成果包括：關於經典三體問題的Euler橢圓解，我們得到其線性穩定性性質的完整刻畫。證明了與N體問題的Euler-Moulton橢圓解相關的線性化哈密頓系統可以分解為(n-1)個獨立的哈密頓子系統——第一個子系統是與二體問題的Kepler解相關的線性化哈密頓系統，其他的(N-2)個子系統中每一個都對應某個三體問題Euler橢圓解相關的線性化哈密頓系統的本徵部分。因此，N體問題Euler-Moulton解的線性穩定性問題可以轉化成一些三體問題的線性穩定性問題，而後者的線性穩定性問題的研究此前已有Martinéz,Samà,Simó的數值結果和我們在另一文章中的解析結果。基於此，N體問題的Euler-Moulton橢圓解的線性穩定性問題可以得到完整的刻畫，這也是第一次對於一般的N體問題得到的此類結果。針對Robe限制性三體問題的橢圓平衡點的線性穩定性問題，我們給出一個解析的處理方法。該結論是對以往這方面的數值結果的一個必要補充。研究了一類非線性Shrödinger方程，它是分數階Laplace方程的推廣形式。該方程的非線性部分由一般的旋轉對稱的Levy過程的極小生成元描述。我們證明了其解的存在性以及正則性、保號性和徑向對稱性。
