降低大系統數學模型的階數或狀態維數，以簡化大系統的數學模型的方法。
基本介紹
概述,方法,集結法,奇異攝動法,
概述
大系統包含的元件眾多，元件間關聯複雜，輸入和輸出數目也較多，建立大系統的精確的數學模型存在困難，因此需要建立簡化的數學模型。太陽系行星運動方程數是1024個,但I.牛頓僅用9個方程就足夠精確地描述了太陽系行星的運動規律。在建立模型的過程中，需要確定對系統的集結和分解的程度。集結是將系統的狀態變數（單元）歸併成數目較少的新的狀態變數（組合單元）。分解是將系統分成更小的單元或子系統。集結程度小和分解程度細的模型，包含的狀態變數多，階次高，求解困難。反之，集結程度大和分解程度粗的模型，階次低，求解不困難，但得到的解可能無實際意義。簡化模型的建立與人們的使用目的、經驗、概括能力和對系統的理解程度有關。大系統模型的簡化，常採用集結法和奇異攝動法。
方法
集結法
集結法是1948年A.納塔夫在構造巨觀經濟模型時首先提出來的。1966～1968年，P.庫利科夫斯基和青木正直用集結法簡化大規模動態系統模型獲得成功。在電力系統中,常發現某些發電機同時發生振盪,這一事實表明可將某些發電機歸併為一等效發電機。將系統中眾多狀態變數按線性組合歸併成少數新的狀態變數，稱為集結。用新狀態組成的系統模型就是簡化的模型。簡化模型應保留原模型的主要的動態特性。
在建立大系統模型的過程中，應對系統的集結和分解程度進行決策。在建立模型後，用集結法進一步簡化模型。設所得到的大系統模型為 (1)式中x為n維狀態向量，u為r維控制向量，矩陣A和B有相應的維數。對狀態向量x各分量進行線性組合得到新的狀態變數zi，i=1,2,…,m,且m<n。以z表示新狀態向量,即有z= Cx，這裡C是m×n矩陣，稱為集結矩陣。對應z 存在一個模型 (2)式中F是m×m 矩陣，G是m×r 矩陣。如果 (3) (4)則模型(2)是(1)的一個完全集結的簡化模型。條件(3)保證模型（2）中矩陣F的特徵值與矩陣A的m個特徵值相同(設A有n個相異特徵值)。如果這m個特徵值是原模型(1)的主導特徵值,則模型(2)的動態特性與原模型的動態特性只有微小差別。條件(4)保證穩定態時集結關係z=Cx成立。簡化模型(2)導出的反饋控制，只改變矩陣F所保留的主導特徵值。將此控制作用施加於原系統時，不改變原系統的穩定性和可控性。集結矩陣C應使狀態z與原狀態x有易於理解的物理對應關係，但很難找到滿足條件(3)的矩陣F，只能得到近似的完全集結的簡化模型。簡化模型狀態向量的維數m，即矩陣C的秩，它的選擇取決於矩陣A主導特徵值的數目。簡化模型階次m的選擇，實際上是系統識別中階次的識別問題。
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1234奇異攝動法
大系統模型簡化的一種重要方法。攝動是指系統數學模型中某些數量級較低的小參數的變動。當諸小參數攝動還不致嚴重改變系統的動態特性時，稱為正則攝動。套用小參數攝動研究事物在某些特殊情況下的特徵，稱為奇異攝動法，如空氣動力學中常用奇異攝動法研究超聲流中的層流。在大系統理論中，它主要用於模型簡化。
用奇異攝動法簡化大系統的模型是70年代P.V.科科托維奇提出來的。因為大系統的數學模型中有一類測量精度低的小參數，其值又隨環境和運行情況波動。因此在大系統的模型中可用一個攝動的小參數μ來概括地表示它。這樣，在列出大系統的動態方程時，可將它分解為兩部分：慢過程部分和包含小參數的快過程部分。大多數的大系統都具有這種性質。這時小參數μ乘上快過程狀態向量的時間導數出現在快過程狀態方程的左側。
設大系統動態方程組的解存在且惟一，當μ攝動時，解也隨著攝動。μ=0時快過程部分的動態方程成為奇異的，故稱為奇異攝動。此時快過程部分的動態方程退化為代數方程,其解發生跳變。這樣,大系統的動態方程退化為維數較低的退化方程，只要此代數方程的根是穩定根，則退化方程的解就是原系統動態方程的解在μ→0+時的極限。因此可用此解來近似地代替原動態方程的解。
將系統動態方程分離為慢過程和快過程，稱為時標分離。集結法也有時標分離的作用。就這一點來說，這兩種模型簡化方法有類似之處。在列出系統方程時，憑藉對系統的理解和參數的數量級分離出快和慢兩類過程。
基於簡化模型得出的反饋控制,用於原系統時,由於狀態x仍然同狀態z關聯著，有時候會得到一個不穩定的或有明顯振盪的系統。此時，對快子系統和慢子系統分別設計反饋控制是解決整個系統控制問題的好辦法。在設計快子系統控制（包括邊界層控制）時，慢子系統狀態取確定的序列值。
奇異攝動法還用來簡化黎卡提方程的解和處理其他形式的小參數問題。1981年B.C.穆爾指出：集結、時標分離和去耦（或部分去耦）三個概念是互相聯繫的。在時標分離基礎上能得出滿意的集結；系統部分去耦處理會得到完全集結的系統；同時考慮時標分離和去耦才能正確地將系統分解為子系統。
以上兩種常用的大系統模型降階方法都是基於大系統的時域模型（狀態空間模型）的降階方法。另外還有一些基於大系統的頻域模型（傳遞函式模型）的降階方法，特別是適合於多輸入多輸出系統的降階方法，如帕德－勞思混合法、帕德－模態混合法、矩陣連分式法等，但矩陣連分式法只能用於輸入維數等於輸出維數的情況。
