《場論中的對偶及其數學結構研究》是依託中國科學院數學與系統科學研究院，由丁祥茂擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：場論中的對偶及其數學結構研究
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：丁祥茂
- 依託單位：中國科學院數學與系統科學研究院
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
共形場論是最重要的場論之一。對一共形場進行擾動，可以得到有質量的場論。顯然，其數學結構會發生變化。但如果要求擾動後的場論，仍然有一些好的結構，如存在可積性，則在擾動過程中，會出現一些不動點。而這些不動點的結構，可以用一個新的共形場理論來刻畫，這就是有質量/無質量的對偶， 而這一新的、有質量的系統被稱之為Y-系統。對偶性是現代數學物理的一重大發現。新近的進展，是發現了所謂的四維N=2超對稱Yang-Mills理論，與二維Liouville(Toda)理論之間的對偶，即Alday-Gaiotto-Tachikawa (AGT)理論。此問題的關鍵是，如何將有質量場的可積結構，即Y-系統，與無質量場的運算元代數聯繫起來。在擾動下不變的點，構成所謂的奇點。在此項研究中，擬費米子和cluster代數至關重要。矩陣模型是研究AGT的重要工具，我們方向其Hopf代數結構以及Painleve特性。
結題摘要
受康塞維奇矩陣模型的啟發，A.Okounkov和R.Pandharipande給出了威騰猜測的一種代數幾何證明。A.Okounkov和R.Pandharipande的代數幾何證明中，T.Ekedahl, T.Lando, S.Shapiro, A.Vainshtein的ELSV公式（發表在Invent.Math146 (2001)pp297-327)是其證明的基礎。而ELSV公式是在相交數與Hurwitz數之間建立了對應關係。 事實上，在代數幾何中有三類重要的幾何量:r-spin相交數，Hurwitz數，以及Hodge積分。我們推廣了著名的ELSV公式，在這三類幾何量之間建立了一一對應的關係。利用頂點運算元代數方法，和玻色-費米對偶關係，當矩陣模型的秩趨向無窮大時，我們得到了廣義康塞維奇矩陣模型的配分函式解析表達式。當勢函式設定為r-自旋相交數的函式時，r-自旋康塞維奇矩陣模型的配分函式表示為Schur函式的展開，其展開係數也解析給定。通過簡單的變數代換，由此我們得到任意r-自旋相交數的解析表達式。從得到的r-自旋相交數，也可以得到Hodge數，以及Hurwitz數的解析表達式。我們編寫了一電腦程式，將我們的解析表達式結果，與已知結果進行了比對，如r=3,4,5，與已知結果一致。我們還計算了新的結果，這是已知文獻中沒有的，r=7時的解析表達式。 我們將哈密頓矩陣模型的多點關聯函式所滿足的多圈方程，用對偶的運算元代數的形式表示出來，就得到了一個新的代數結構。它是Virasoro代數的推廣，即它的代數關係，它是將通常Virasoro代數的由整數指標標識的代數生產元，推廣到包含一個由分拆(partition)標識其代數生產元。一個自然的推測，它對應於高維Wess-Zumino-Novikov-Witten模型的對稱性。當然，現在還沒有找到這樣的模型，或者說此代數的非平凡最高權表示。最近已經有研究表明，在探索黑洞這樣異常複雜的物理對象時，會得到類似的代數結構。
