基本介紹
- 中文名：基本集
- 外文名：basic set
- 適用範圍：數理科學
簡介,公理A,
簡介
在動力系統的研究中，對基本集的理解一般認為它不是單獨的一個雙曲不動點(雙曲奇點)。基本集的作用在於它在很大程度上確定了系統的軌道結構。
公理A
這是斯梅爾為刻畫結構穩定性提出的一種關於非遊蕩集的條件。這個概念在流和離散系統中形式上平行地出現，但由於基礎是雙曲集的概念，實際上蘊涵著重要的不同。這裡就離散情形加以說明。
稱一個微分同胚f滿足公理 A，如果非遊蕩集Ω(f) 為雙曲集，並且周期點在Ω(f) 中稠密。公理 A 微分同胚的特徵是，非遊蕩集分解成有限個互不相交的拓撲傳遞的[雙曲]緊不變集，稱作基本集。
一個微分同胚的動力性態主要體現在非遊蕩集上，或更大一點，鏈回歸集上。至於遊蕩部分，或非鏈回歸部分，則比較簡單。鏈回歸分解為互不相交的、不可分解的緊不變集，稱為鏈傳遞分支。一個鏈傳遞分支本身可能有複雜的動力形態。但造成動力形態高度複雜的一個更為嚴重的原因是，一個微分同胚可能有，甚至可能在擾動下持續地有，無窮多個鏈傳遞分支。
相比之下，公理 A 微分同胚由於只有有限個鏈傳遞分支，動力形態就相對簡單（即使各個鏈傳遞分支內部可能有斯梅爾馬蹄那樣的複雜程度）。如果把馬蹄這樣的不變集看成是一個複雜化了的“鞍點”，把雙曲吸引子和排斥子看成是一個複雜化了的“匯點”和“源點”，那么公理 A 微分同胚就在更高的複雜度下類比於一個莫爾斯-斯梅爾微分同胚。
在公理 A 的條件基礎上，再加上無環條件或強橫截條件，就是斯梅爾提出的、後來被證明為Ω 穩定和結構穩定的充分條件。
