《基於耦合方程組解不適定問題的多尺度新算法》是依託中山大學，由楊宏奇擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：基於耦合方程組解不適定問題的多尺度新算法
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：楊宏奇
- 依託單位：中山大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本課題研究基於耦合方程組求解線性與非線性不適定問題的自適應、多尺度快速正則化算法。基本思想是對不適定問題套用Tikhonov正則化方法，將Tikhonov正則化方程轉化為等價的耦合方程組，再提出基於耦合方程組的多尺度快速算法。此方法避免了計算兩個運算元的乘法，而將原運算元與其共軛運算元或者其導運算元的共軛運算元“分而治之”。在積分運算元的情形，與Tikhonov正則化相比，此方法涉及的定積分重數減少了一半，這對高維問題的計算有重要意義。藉助傳統的投影方法與多尺度分析，結合矩陣壓縮技術，先將此耦合方程組快速離散，再套用多層擴充法快速求解。在此耦合方程組的基礎上，我們研究線性與非線性問題的新型疊代算法。探討算法設計、最優正則參數和疊代次數的選取方法及算法實現過程中運算元所應滿足的一系列分析性質。作為套用，將此方法用於圖像處理的連續模型，發展圖像恢復的高精度快速方法。
結題摘要
不適定問題的解法研究是科學與工程計算中的熱點問題。本項目研究基於耦合方程組解線性與非線性不適定問題的自適應、多尺度快速正則化算法。 首先研究圖像處理的連續積分方程模型。我們對一類積分核為高斯核的圖像去模糊問題，套用Tikhonov正則化方法，結合多尺度配置法與矩陣壓縮技術，將Tikhonov正則化方程轉化為等價的耦合方程組，並對耦合方程組套用多尺度快速配置方法，這種方法極大地減少了數值積分的計算量。 其次考慮Banach空間中非線性不適定問題。研究了帶一般一致凸正則項的Levenberg–Marquardt算法。此算法主要用於檢測所求解的稀疏性和分片常值特性，也可以用於被包含噪聲異常值污染的處理數據情形。藉助Banach空間中凸分析的工具，我們得到了正則解的收斂性。
