《基於單調測度的可測與可積函式空間理論中的若干問題》是依託哈爾濱工業大學，由任雪昆擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：基於單調測度的可測與可積函式空間理論中的若干問題
- 依託單位：哈爾濱工業大學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：任雪昆
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
測度論可以說是數學中最重要的理論之一。非可加測度是經典測度的拓廣，是數學領域中一個新的研究方向，是既有理論意義又有實際價值的研究課題。因此，近一些年來倍受學者們關注。本項目將利用非可加測度的自連續性、零可加性、雙零可加性以及雙零漸近可加性等性質討論關於單調非可加測度的可測實值函式空間的基本拓撲性質，如：可分性、完備性，存在非零線性連續泛函的條件，和它的子集，Sugeno 可積函式空間等的拓撲結構，以及關於模糊測度的可測實值函式空間的相應問題。除此之外，還將討論單調非可加測度所構成空間的一系列拓撲性質，如：共軛空間、弱拓撲、弱收斂等性質。
結題摘要
測度論是數學中最重要的理論之一，非可加測度是經典測度的拓廣，與經典測度論相比更具廣泛性與生命力。是數學領域中一個新的研究方向，是既有理論意義又有實際價值的研究課題。因此，近一些年來倍受學者們關注，但國內外的研究工作也剛剛起步，還有大量基礎性研究工作有待討論。本項目利用非可加測度的自連續性、零可加性、雙零可加性以及雙零漸近可加性等性質討論了關於單調非可加測度的可測實值函式空間的基本拓撲性質，得到了此空間滿足完備性、可分性、局部有界性、局部凸性的充分條件，及空間的偽度量化且收斂等價於依單調不可加測度收斂。除此之外還證明了雙零漸近可加性是單調不可加測度保證測度收斂關於代數運算和格運算的可繼承性的充分必要條件；並嘗試討論了在單調不可加測度的測度收斂意義下可測函式列的極限唯一性。並在此基礎上研討了關於單調非可加測度的可測實值函式空間，在測度分別為無原子與偽原子、純原子或偽原子時的非平凡的對偶空間，以及當測度為更特殊的模糊測度等情況。更進一步的，項目研討了關於單調非可加測度的可測實值函式空間的一些子集構成的空間，得到了Sugeno可積函式空間，有界可測函式空間的一系列拓撲性質。可以說本項目涉及的是一個嶄新的研究方向。項目中所得到的結果有助於我們進一步建立模糊分析學與泛函分析這兩個分支學科之間的聯繫，豐富非可加測度的理論研究。
