基於非線性積分的可積函式空間及泛函表示

《基於非線性積分的可積函式空間及泛函表示》是依託湖州師範學院，由歐陽耀擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：基於非線性積分的可積函式空間及泛函表示
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：歐陽耀
• 依託單位：湖州師範學院

項目摘要

本項目研究三類重要非線性積分— Choquet積分、泛積分和凹積分的可積函式空間性質和基於這些積分的非線性泛函表示。主要內容為證明基於泛積分與凹積分的Minkowski、Holder等重要不等式；對於可測函式分別定義基於單調測度泛積分和凹積分的範數，引入基於泛積分與凹積分的可積函式空間概念，證明這兩類函式空間的完備性和可分性，從而建立與經典測度論中L^p空間類似的非線性可積函式空間理論；討論泛積分、凹積分與Choquet積分之間的關係，揭示三類積分之間的內在聯繫；研究具有某些特定性質的非線性泛函的泛積分和凹積分表示，將經典實分析中的Riesz表示定理進一步推廣和延伸到非可加測度理論。試圖建立經典測度論中的Radon-Nikodym定理在非可加測度和非線性積分理論中的對應理論。本項目將豐富非線性積分的研究內容，並為建立與經典積分理論對應的完善的非線性積分理論體系起到重要作用。

結題摘要

本項目主要研究了非線性積分理論中若干重要問題，主要包括基於泛積分和凹積分的可積函式空間基本理論以及幾類主要的非線性積分之間的關係。當單調測度滿足次可加性時，我們給出了基於泛積分的Holder不等式和Minkowski不等式，並證明了非負可測函式的泛積分是可加的。由於泛積分滿足正齊性，因此非負泛可積函式的全體構成一凸錐。我們引入了實值可測函式泛積分的概念，並證明了若單調測度具有次可加性則泛可積函式的全體構成一賦范空間。若單調測度還具有下連續性，則該賦范空間為Banach空間。由於當單調測度滿足次可加性時，凹積分與泛積分等價，因此我們事實上也得到了基於凹積分的可積函式空間基本理論。由於單調測度一般不具有可加性，因此在同一個單調測度空間中可以定義各種不同的積分。研究這些積分之間的關係，可以在這些積分之間架設起橋樑，具有重要的理論價值。本項目詳盡研究了Choquet積分、（上）泛積分以及（凸）凹積分之間的一致性條件。我們引入了單調測度最小原子的概念，研究了其若干性質，並通過這些性質給出了有限空間中泛積分與凹積分等價的充分必要條件。我們引入了單調測度的(M)-性質，證明了它是泛積分與凹積分等價的充分條件；當可測空間有限時，該條件還是必要的。利用可測空間原子的基本性質，我們給出了有限空間中上泛積分與凸積分等價的充分必要條件。此外，我們引入了對偶(M)-性質的概念，並利用它給出了上泛積分與Choquet積分等價的充分必要條件。此外，我們將非負可測函式的泛積分表示成一族具有特定性質的非線性泛函的下確界，為進一步研究非線性泛函的泛積分表示打下基礎。我們還研究了基於最優測度的泛積分的性質、利用基於最優測度的凹（凸）積分給出了一個多屬性決策的新模型、給出了藉助非線性積分研究模糊神經網路逼近的一個方法等。