在集合論中,勢的概念可以有相當的發展,而無需藉助於定義基數為理論自身內的對象(這實際上是弗雷格採用的觀點;弗雷格基數基本上是指在等勢關係下,由在全集中的集合所組成的各個等價類)。
基本介紹
- 中文名:基數指派
- 分類:數理科學
簡介,不用選擇公理的基數指派,
簡介
勢的概念可以依據函式的單射、雙射與滿射概念來闡述;比如透過單射,可以給出在整個全集上通過大小比較的預序關係
是單射。
它不是真的排序,因為三分律不一定成立:如果和都為真,則通過康托爾-伯恩斯坦-施洛德定理 為真,就是說A和B是等勢的,但作為集合它們可以不是相等的;“三者至少一種情況成立”這一陳述等價於選擇公理。
不過多數關於勢和它的算術的有趣結果可以只通過 =c來表達。
基數指派的目標是把每個集合A指派到特定的唯一的一個集合,所指派的集合只取決於A的勢。這跟康托爾最初對基數的構想是一致的:取一個集合併把它的元素抽象為規範“單位”,再把這些單位收集到另一個集合中,使得有關這個集合唯一特殊的事情是它的大小。這類集合在 下會是全序的,而=c會變成真正的等號。不過,如 Y. N. Moschovakis 所說,這只是作為體現數學簡潔性的一個練習,你不會得到更多東西除非你“對下標過敏”。但是在集合論的各種模型中,有“真實”基數的各種有價值的套用。
在現代集合論中,我們通常使用馮·諾伊曼基數指派,它使用序數的理論與選擇公理和替代公理的全部能力。基數指派需要完全的選擇公理,如果我們想要像樣的基數算術和對所有集合的基數指派。
不用選擇公理的基數指派
形式上,假定選擇公理,一個集合X的勢,是使得在X和 α 之間有雙射的最小序數 α。這個定義叫做馮·諾伊曼基數指派。如果不假定選擇公理,我們需要採取別的方式。一個集合X的勢的最古舊的定義(康托爾隱含地使用著,而在弗雷格和《數學原理》那裡被明確提出),是等勢於X的所有集合的集合:這在ZFC或其他有關的公理化集合論中不可行,因為這個蒐集對於一個集合而言太大了,但這個定義在類型論、新基礎和有關係統中可行。但是,如果我們限制這個類為,同X等勢的那些對象中有最小階的集合的蒐集,則它就可行(這是Dana Scott發明的一個技巧:它可行是因為任何給定階的對象的蒐集都是一個集合)。