埃爾米特度量(Hermite metric)是殆複流形上的一種度量。設M是殆複流形，具有殆復結構J。若M上黎曼度量g滿足g(JX，JY)=g(X，Y)，這裡X，Y是M上任意向量場，則g稱為M上的埃爾米特度量。
基本介紹
- 中文名：埃爾米特度量
- 外文名：Hermite metric
- 領域：數學
- 性質：度量
- 對象：殆複流形
- 提出者：埃爾米特
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殆複流形
殆複流形是其切空間具有復結構的實微分流形。設M是一個微分流形，若它的切叢有復結構，則切叢T(M)上的一個復結構J稱為M上的殆復結構。有此結構的流形M稱為殆複流形。
微分流形
設M是仿緊豪斯道夫 (Hau-sdorff)空間，且是拓撲流形，稱A= {(Uα，Фα)|α∈P}是它的地圖，如果{Uα|α∈P}是M的開覆蓋，Фα是從Uα到n維歐氏空間R的某開集上的同胚。(Uα，Φα)稱為坐標卡。如果兩個坐標卡 (Uα，Фα)，(Uβ，Φβ) 滿足Uα∩Uβ≠Φ，則稱Φβ·Фα：Φα(Uα∩Uβ) →Φβ(Uα∩Uβ) 和Φα·Φβ： Φβ(Uα∩Uβ) →Фα(Uα∩Uβ) 為Uα∩Uβ上的坐標變換。如果A的所有坐標變換都是C可微的，則稱A為一個C地圖，其中1≤r≤∞。r也可等於ω，此時A稱為解析地圖。拓撲流形M的坐標卡 (U，Φ) 稱為與A是Cr相容的，如果任意(Uα，Φα) ∈A，坐標變換Φ·ΦαΦα·Φ均C可微。拓撲流形M的C地圖A稱為最大的，如果它包含M的所有與之C相容的坐標卡。M上的最大C地圖A稱為M的C微分結構。(M，A)稱為C微分流形，或簡稱為C流形。當r=∞時，C微分結構也稱為光滑結構，C流形也稱為光滑流形。r=ω時，C結構也稱為解析結構，C流形稱為解析流形。C流形(M，A)有時也簡記為M。
從直觀上看，拓撲流形是局部歐氏空間，局部之間用同胚映射(坐標變換)貼上在一起。n維C流形，不僅局部同胚於n維歐氏空間，而且局部之間是用C光滑、且其逆也C光滑的坐標變換貼上在一起。
兩個C流形M和N，f：M→N是連續映射，且任一點P∈M，有包含P點的M中的坐標卡(U，Φ)以及包含f(P)的N中的坐標卡(V，)，使得f(U)⊂V，同時，映射°f°Φ-1：Φ(U)→(V)是C光滑的(1≤r≤∞或r=ω)，則稱f是C映射。C映射也稱為光滑映射，C映射也稱為解析映射。其中稱為f的局部表示。
C流形M和N之間的同胚f：M→N，如果f和f均是C映射，則稱f是C微分同胚。
度量
度量（metric）亦稱距離函式，是度量空間中滿足特定條件的特殊函式，一般用d表示。度量空間也叫做距離空間，是一類特殊的拓撲空間。弗雷歇（Fréchet，M.R.）將歐幾里得空間的距離概念抽象化，於1906年定義了度量空間。
（a）若
，則
，並
；（稱作正定性）
（b）
；（稱作對稱性）
則稱函式
為集合
上的一個距離函式或度量，d(x,y)為x與y之間的距離。賦予度量d的集合X稱為度量空間，記為(X,d)。n維歐幾里得空間Rn按通常的度量構成度量空間。區間[0,1]上定義的連續實值函式的集合上賦予由
在度量空間中，緊性、可數緊性、序列緊性、子集緊性是一致的。可分性、遺傳可分性、第二可數性、林德勒夫性是一致的。度量空間必滿足第一可數公理，是豪斯多夫空間，完全正規空間，仿緊空間。偽度量空間滿足第一可數公理，但一般不是豪斯多夫空間。
埃爾米特
法國數學家。生於洛林，卒於巴黎。1842年入巴黎綜合工科學校學習。由於先天性右腿殘疾，曾遭受到一些人的歧視。但是，不久他就以對橢圓函式諸問題的深入研究，贏得了著名數學家雅可比的賞識。1848年任該校輔導教師。1856年被選為法國科學院院士。1869年成為巴黎綜合工科學校和巴黎理學院教授。他還是聖彼得堡科學院的名譽院士。埃爾米特是柯西之後法國傑出的分析學家。他在特殊函式論、數論、高等代數、數學分析等許多方面都做出了很有價值的工作。他研究了橢圓函式和阿貝爾函式的除法和變換，套用橢圓函式解五次方程，解決了相關的力學問題;他推廣了高斯研究整係數有限二次型的方法，證明了它們對任意個變數其類數仍是有限的;深入考查了矩陣理論，證明了若矩陣M=M，則其特徵根為實數;他還研究了正交多項式中的一類，後來被稱為埃爾米特多項式(也稱切比雪夫多項式);分析了多項式族與多變數的相似性，研究了整數用代數型表示的問題;引入了復二次型，被稱為埃爾米特型。他在1873年證明了數e的超越性，這是一個很著名的結果。他的主要著作收集在4卷本的《埃爾米特著作集》(1905—1917)中。
