埃奇沃斯級數

埃奇沃斯級數（Edgeworth series）是以愛爾蘭經濟學家埃奇沃斯來命名的。

基本介紹

• 中文名：埃奇沃斯級數
• 外文名：Edgeworth series
• 學科：數學
• 領域：數學

簡介

埃奇沃斯級數（Edgeworth series）是以愛爾蘭經濟學家埃奇沃斯來命名的。它和 Gram-Charlier A series 一樣，是把一個隨機變數的機率密度函式展成級數，級數中的每一項是用該隨機變數的 cumulants 來表達。對同一個分布，Gram-Charlier A series 和埃奇沃斯級數展出來是同樣的級數，只是項的排列不同。（也因此只取前幾項作為逼近時的誤差會有所不同）

級數

在數學中，一個有窮或無窮的序列的元素的形式和S稱為級數。序列中的項稱作級數的通項。級數的通項可以是實數、矩陣或向量等常量，也可以是關於其他變數的函式，不一定是一個數。如果級數的通項是常量，則稱之為常數項級數，如果級數的通項是函式，則稱之為函式項級數。常見的簡單有窮數列的級數包括等差數列和等比數列的級數。

有窮數列的級數一般通過初等代數的方法就可以求得。如果序列是無窮序列，其和則稱為無窮級數，有時也簡稱為級數。無窮級數有發散和收斂的區別，稱為無窮級數的斂散性。判斷無窮級數的斂散性是無窮級數研究中的主要工作。無窮級數在收斂時才會有一個和；發散的無窮級數在一般意義上沒有和，但可以用一些別的方式來定義。

無窮級數的研究更多的需要數學分析的方法來解決。無窮級數一般寫作，級數收斂時，其和通常被表示為。

Gram-Charlier A級數

Gram-Charlier A series 的主要想法，是把待逼近分布（以F為它的密度函式）的特徵方程，寫成另一個已知分布的特徵方程的展式，再經過傅立葉變換的逆變換，就可以求得F的展式。

假設f是待逼近分布的特徵方程，是這個分布的 累積量。現在將它展成和另一個已知分布相關的級數。該已知分布的密度函式為 ，特徵函式為，累積量 為。常見的作法是選用常態分配作為已知分布，但事實上選用其它的分布函式也是可行的。由 累積量 的定義，下列這個等式是恆成立的：

由傅立葉變換的性質，(it)ψ(t) 是 (−1)D(x) 的傅立葉變換，其中D代對x的微分運算元。這樣我們就得到F的一個級數

如果令 為常態分配的密度函式且其期望值和方差與分布F相同，也就是說，期望值 μ = κ₁，變異數 σ= κ₂，則此展式變成

再將指數函式展開並按微分階數逐項列出，就得到 Gram-Charlier A series。例如，選用常態分配做為已知分布，展到前兩項就可以得到

其中H₃(x) =x− 3x；H₄(x) =x− 6x+ 3 （即埃爾米特多項式）

注意到以上的 series 並不保證函式值恆正，所以事實上並不一定是一個密度函式。在許多情況下，Gram-Charlier A series 會發散—僅當x趨近無限大時F(x) 遞降的比 exp(−x/4) 快時它才會收斂 (Cramér 1957)。當它不收斂時，這不是一個真正的漸近展式，因為要估計這個展式的誤差是不可能的。因此，一般的情況埃奇沃斯級數比 Gram-Charlier A series 更常用。

Edgeworth擴展的缺點

Edgeworth擴展可能會遇到一些問題：

（1）它們不能保證是一個合適的機率分布如下：

• 密度的積分不需要積分為1，
• 機率可能是負的。

（2）主要有兩個原因，它們可能不準確，特別是在尾部，

• 它們是圍繞平均值的泰勒級數獲得的，
• 它們（漸近地）保證絕對誤差，而不是相對誤差。 當想要近似非常小的量時，這是一個問題，絕對誤差可能很小，但相對誤差很重要。

相關術語

• Gram-Charlier A series
• 康沃爾 - 費希爾擴張
• 埃奇沃思二項式樹