在數學中,海曼多項式是一種經典的正交多項式,得名於法國數學家夏爾·海曼。機率論里的埃奇沃斯級數的表達式中就要用到海曼多項式。在組合數學中,海曼多項式是阿佩爾方程的解。物理學中,海曼多項式給出了量子諧振子的本徵態。
基本介紹
- 中文名:海曼多項式
- 外文名:Hermite polynomial
- 又名:埃爾米特多項式
- 時間:1864年
- 提出者:夏爾·海曼
- 領域:數學 物理
- 概念:正交多項式
簡介,定義,證明,性質,
簡介
海曼多項式是一組正交的多項式。就如許多其他的以人名命名的數學公式一樣,海曼多項式其實也並不是海曼第一個提出的。 拉普拉斯在1810年一篇論文中就給出了埃爾米特多項式的係數,切比雪夫則在 1859 年的一篇論文中詳細的討論了海曼多項式的各種性質。可惜切比雪夫的這篇論文並沒有引起學術圈應由的重視。夏爾·海曼在 1864 年的一篇文章中才提到海曼多項式,這已經比拉普拉斯最初的研究成果晚了54年。
定義
在數學中,海曼多項式是一種經典的正交多項式,得名於法國數學家夏爾·海曼。機率論里的埃奇沃斯級數的表達式中就要用到海曼多項式。在組合數學中,海曼多項式是阿佩爾方程的解。物理學中,海曼多項式給出了量子諧振子的本徵態。
前5個海曼多項式如下:
![](/img/4/dc6/f43e59f66b956fcb009b2784daae.jpg)
![](/img/5/5a1/7fb45b162e18b3dabac699594071.jpg)
![](/img/9/1ea/c468d78f53ded77d8866234fe256.jpg)
![](/img/9/050/22fc35b1b2d0f25f34f62e4b1381.jpg)
![](/img/9/64c/460265cf733ac124a3dcab9be44d.jpg)
![](/img/0/26e/c7b0e3b0bb44353b3c43e7fa9597.jpg)
證明
常微分方程:
![](/img/7/39d/e6d4a3a8c796700b2b6cf8706970.jpg)
被稱為海曼方程。
x=0 是海曼方程的常點,所以這個微分方程的解可以在 x=0 的鄰域表示為泰勒級數:
![](/img/6/12f/0e9fe0c278370463b31a724b98b1.jpg)
![](/img/f/054/81c22aecbceae143b2b867e3fc74.jpg)
帶入海曼方程得到:
![](/img/b/a6e/203826bcf4395c6dd4074453eaf5.jpg)
考察
的係數,有 :
![](/img/c/4a4/2f6be678d781287ff9c2c5295d46.jpg)
![](/img/e/47b/61e4deed80f9d9c2f3f196741393.jpg)
所以:
![](/img/a/3aa/a80768f8eb7bd662e6737bf23e29.jpg)
![](/img/d/535/40019fdbec2e2adf49e785784fdb.jpg)
![](/img/d/50c/229a653eb469ecef7d2978298ff0.jpg)
![](/img/8/835/f4acf591289d312190618d7b0fe8.jpg)
因此可以這樣寫:
![](/img/3/138/850d813f6569bde28139a02d990c.jpg)
當n是偶數時,
只有有限項,只要我們將
設為0,那么
就退化為多項式了。
![](/img/0/279/2838ede0eaf4a9b597bbe3863502.jpg)
![](/img/1/7fa/92aa5f23764f8fb708ed76cae379.jpg)
![](/img/1/54e/2522c5ec0ff386fb40128c2c2218.jpg)
同理,當n是奇數時,
只有有限項,只要我們將
設為0,那么
就退化為多項式了。
![](/img/1/6a6/23e16b94ec864a25466b4d3afdba.jpg)
![](/img/6/448/15260df38c5d42c9b923eb044be8.jpg)
![](/img/b/798/fbfec4a6bd4ea19729a5c973d5b5.jpg)
按照這個思路,選擇合適的
和
,便可得到海曼多項式。
![](/img/d/abc/e067ac7dff346c98e1e4e0567104.jpg)
![](/img/0/d23/5c2816d927756dfbda687b55f7e8.jpg)
性質
海曼方程可以改寫為斯圖姆-劉維爾型:
![海曼多項式 海曼多項式](/img/4/9f0/nBnauYGOiRGZ2M2MlVWO1cTOjJjZ4IGNzYzMwMWZwEmZ4ETOzAzNmBDZzYzLtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
那么顯然有:
![海曼多項式 海曼多項式](/img/c/550/nBnauEDNkRTM4QmNmJ2YjhTNiRGMzYDOkBjMzkDMxQGO1ITOlRjN1QTNjR2LtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
前五個函式如下:
![海曼多項式 海曼多項式](/img/d/de1/nBnauQjMkJWOzUDZzQmNzU2YmFDO1IDZiljY2I2MzAjY5QzM0MDOyEmM1Q2LtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
圖像如下:
![海曼多項式 海曼多項式](/img/2/cca/nBnauYDZycjZkZWN4EGNzAjN2UzM4cTY1QTYlVmZwUWNmRmM5ITYzYWMxY2LtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
可以看出埃爾米特函式在
較大時衰減的很快。越往後的海曼函式,非零的區域也越大。第n個海曼函式值過零點的次數是n 次。
![](/img/6/3a4/c088ed8330ea62a8287f6f42586e.jpg)