《在結合方案和球面上的代數組合》是依託上海交通大學，由坂內英一擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：在結合方案和球面上的代數組合
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：坂內英一
- 依託單位：上海交通大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
代數組合論是組合數學的一個重要分支,它研究具有高度對稱性和優美結構的組合對象,包括圖（如強正則圖, 距離正則圖等）、結合方案（如P-多項式方案和Q-多項式方案等）和有限良性集（例如與結合方案或與球面相關的碼與設計等）.本項目主要研究代數組合論中與結合方案和球面相關的若干基本問題。在結合方案方面主要研究Q-多項式方案的幾何表示、具有P-和Q-多項式結構的結合方案的分類、交換結合方案、凝聚構形、結合方案中的t-設計等問題；在球面方面主要研究由格的殼體構成的球面設計、緊設計的結構及其分類、分析學中極小積分公式的分類、球填充問題以及其他一些度量空間中的t-設計等問題.這些問題的研究不但與有限群表示論、數論、有限幾何、數值分析、數學物理、計算數學等學科有深刻的本質聯繫，而且在網路理論、統計學、保密通訊等領域有重要套用.本項目的研究對於代數組合論及相關學科的發展，將發揮積極的推動作用.
結題摘要
該項目負責人非常成功地繼續研究了結合方案和球面上的代數組合。現將2013年至2016年最重要的成果總結如下:（1）Bannai-Bannai-Tanaka-Suda一文研究各種結合方案尤其是P-和Q-多項式結合方案上的（緊）相對t-設計的一般性理論，此文非常清晰地闡明了兩類緊相對t-設計的Fisher型不等式的意義；（2）對於t取值較小的情況，我們成功的研究了每個具體的P-和Q-多項式結合方案上的緊相對t-設計，特別是對二元Hamming結合方案和Johnson結合方案上的緊相對t-設計的研究取得了非常好的成果。主要結果發表在三篇文章中：Bannai-Bannai-Bannai,Zhu-Bannai-Bannai和Bannai-Bannai-Zhu；（3）進一步地，Bannai-Bannai-Tanaka-Zhu對上述問題以及每個P-和Q-多項式結合方案的某些具體結果進行了綜述。該項目負責人相信這篇綜述性文章中的工作對將來研究P-和Q-多項式結合方案是非常有用的。因此這一工作對緊相對t-設計和其它很多相關領域的研究課題譬如對P-和Q-多項式結合方案本身的研究之間起到了很好的橋樑作用；（4）Bannai-Bannai研究了兩個同心球面上的緊歐氏t-設計，進而得到一個決定性的結果：對於每一個大於等於13的奇數t，只存在有限多個兩個同心球面上的緊歐氏t-設計；（5）Bannai-Okuda-Tagami發起了對緊球面調和指標4-設計的研究，這類設計是對球面t-設計的推廣。接下來，這一問題在 Zhu-Bannai-Bannai-Kim-Yu中得到了進一步的研究，該文中證明了：緊調和指標球面6-設計和8-設計的不存在性，以及當e＞=5時緊球面調和指標2e-設計的漸進不存在性；（6）Bannai-Bannai通過一個初等的論證，得到這樣一個全新的令人欣喜結果：區組個數接近Fisher型下界的組合t-設計極為罕見。總的來說，該項目負責人在過去四年中最重要的貢獻在於：第一，我們於2016年成功的出版了一本（日文）專著：《代數組合導引》[I]，將來會考慮將其翻譯為英文；第二，成功的發表綜述性論文：Bannai-Bannai-Tanaka-Zhu。因為這兩項工作對該研究領域進一步的整體發展將會產生至關重要的影響，該項目負責人堅信這它們在未來會產生持久的影響。
