囿空間(bornologic space)是一類局部凸空間,設E是局部凸空間,如果E中每個均衡凸的囿集都是零元的鄰域,則稱E是囿空間或有界型空間。局部凸空間是囿的,若且唯若在每個有界集上有界的半範數是連續的。設E是囿空間,E1是局部凸空間,則由E到E1的有界線性映射必是連續的。
基本介紹
- 中文名:囿空間
- 外文名:bornologic space
- 別稱:有界型空間
- 所屬學科:數學
- 所屬問題:泛函分析(拓撲線性空間)
基本介紹,相關定理,
基本介紹
註:定義就是說,若
,且
有界集與
有界集一致,則
。
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定理1 若
是局部凸空間,則下列等價;
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(1) X是囿空間;
(3) 任何在
有界集上取值有界的半范是連續的。
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證明:① 若X是囿空間,且V是吸收任意
有界集的凸集,若V不是0點
鄰域,則在0點
鄰域子基中補上
得到集
,以
為0點鄰域子基得到新的局部凸拓撲
,顯然
嚴格強於
,且
與
有同樣的有界集,這與囿空間定義矛盾,故(1)
(2)。
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② 若X不是囿空間,則在X中可引入局部凸拓撲
,使
嚴格強於
,且
與
有同樣的有界集,從而必存在0點
鄰域,它不是0點
鄰域,故(2)
(1)。
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③ 若X中吸收任意
有界集的凸集是0點
鄰域,又A是
有界的。p是X的半范,且當
時有
,則
。從而
,故
吸收任意有界集,因此
,故p是連續的,所以(2)
(3)。
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④ 若X不是囿空間,則存在局部凸拓撲
,使
與
有同樣的有界集,且存在一個凸的均衡吸收集V,它是
的0點鄰域而不是
的0點鄰域,故
是在每個
有界集上取值有界的半范,但
不是公連續的.故(3)專(1).口
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註:任給局部凸空間
,我們在X上可以引入一個局部凸拓撲,稱為
,它是以吸收任何
有界集的一切凸集為0點局部基。容易看到,
是囿空間,
有界集與
有界集是一致的,且
。
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相關定理
定理2 任何賦可列半范的局部凸空間是囿空間,特別地,賦范空間是囿空間。
證明:不妨設
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對X中任何有界集E,由於V吸收E,故有
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但由於V不是0點鄰域,故對任何正整數n及
,有
⊄
,,從而存在
,所以,
,但
,令
,當
時,由(1),
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定理3 設
是局部凸空間,則X是囿空間若且唯若從X到任意局部凸空間Y的線性有界運算元是連續的。
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證明:設X是囿空間,Y是局部凸空間,
是線性有界運算元(有界指將有界集映成有界集)。設W是Y的0點凸鄰域,則
是X中凸集,且吸收X中任意有界集(事實上,設E是X中有界集,則
是Y中有界集,故存在
,使
,故
),由於X是囿空間,故V是0點領域,從而T是連續的。
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推論1若X是囿空間,則X上的每個有界線性泛函必是連續的。
推論2 若X是Banach空間,Y是局部凸空間,則任何有界線性運算元
必是連續的。
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