單演N群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。模是一個重要的代數系統。N群是環模概念的推廣。

單演N群(monogenic N-group)是一類極其重要的N群。

基本介紹

• 中文名：單演N群
• 外文名：monogenic N-group
• 領域：代數
• 性質：N群
• 意義：環模概念的推廣
• 相關概念：強單演群

概念

單演N群(monogenic N-group)是一類極其重要的N群。設Γ是一個N群，若存在一個元素γ∈Γ，使得Nγ=Γ，則稱_NΓ是由γ單演的，γ稱為_NΓ的一個生成元.一個單演N群_NΓ，若γ∈Γ，有Nγ={0}或者Nγ=Γ，則稱_NΓ為強單演的。

群

群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。

設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：

(1)封閉性，a·b∈G;

(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);

(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。

滿足交換律的群，稱為交換群。

群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。

1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。

N群

N群是環模概念的推廣。設N是一個擬環，(Γ，+)是一個群，映射μ：N×Γ→Γ使得(n，γ)→nγ，若對於任意的γ∈Γ，n₁，n₂∈N滿足：

(n₁+n₂)γ=n₁γ+n₂γ;

(n₁n₂)γ=n₁(n₂γ)，

則稱(Γ，μ)為一個N群，記為_NΓ。對於Γ的子群Δ，若滿足NΔΔ，則稱Δ為_NΓ的一個N子群。Ω=N0=N_c0是_NΓ的最小N子群。N群與擬環之間存在著深刻的內在聯繫，擬環的某些特性可以用N群刻畫，N群中成立著許多與擬環相應的結果。

單演

一個群稱為單演群，如果它是由它的某一個元素所生成的。 任一單演群皆是交換的. 無限單演群同構於整數加法群Z. n階有限單演群同構於模n的全體剩餘類之加法群Z/nZ。

一個模稱為單演模，如果它是由它的某一個元素所生成的。例如，記為加法的任一單演群可視為單演Z-模。一個向量空間是單演向量空間，若且唯若它是0維或1維的.設f為交換體K上之向量空間E的自同態。考慮E上由映射

所定義的K[X]-模的結構。所有單演子模叫做關於f的單演子模。

環

環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：

的全體構成的集類，則F是R上的一個環.環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質.環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

模

模是一個重要的代數系統。它是一個帶運算元區A的交換(加)群M.給定集合A與交換群M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

則稱A為M的運算元區，稱M為帶運算元區A的模，又稱為A上的模或A模.這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算.任意a∈A可誘導出M的自同態a_M：x→ax，而考慮交換群M能否成為A模就是看能否給出映射：

μ： A→End(M)，　a→a_M.

特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模.由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為_AM。類似地，有右A模M，記為M_A.若A有單位元1，且又滿足條件：

4.1x=x (x∈M);

則稱M為酉模或麼模，以下設A模都是酉模。