哥德巴赫猜想哈代公式解

哥德巴赫猜想哈代公式解指的是哈代對於哥德巴赫猜想的解法，即證明哥德巴赫猜想的最有效的兩種方法之一的圓法。

哈代貢獻

Hardy對於哥德巴赫猜想的貢獻，創造了上世紀證明哥德巴赫猜想的最有效的兩種方法之一的圓法(另一個是篩法)。利用這一方法，Hardy和Littlewood合作首次給出了哥德巴赫猜想的第一個結果。

Hardy曾說過：“如果哥德巴赫猜想有一天被證明，其方法應該類似於我和Littlewood的方法”，不是圓法無力，而是我們的分析工具不夠。我們不是在原則上沒有成功，而是在細節上沒有成功。”

滿足偶數哥德巴赫猜想的素數的數量，就是偶數內的對稱素數的個數。數學家已確定其波動性能是由參數2*∏{(z-1)/(z-2)}∏{1-1/{(p-1)^2}}決定的,且數值大於1.32,是一個讓數量只增不減的參數。∏是連乘積運算符號,z是能整除偶數的素數,p是大於2的素數。決定偶數內的對稱素數的數量的主參數是下限解公式，特定的一種偶數,N=2^n，對稱素數的個數最少。其求解式就是省略了整除偶數的素數做參數的僅能增加解的係數∏[(z-1)/(z-2)]以後的哈代的滿足偶數哥德巴赫猜想的素數數量的求解公式。

哈代提供的滿足偶數哥德巴赫猜想的素數數量的求解公式。2[N/(log(N))^2]∏[1-1/(q-1)^2]∏[(z-1)/(z-2)]≥(1.32)[N/(log(N))^2]。將其再增加4倍,就是王元,陳景潤證明的滿足偶數哥德巴赫猜想的素數的上限公式。中外數學家都用公式(1.32)[N/(log(N))^2]研究偶數哥德巴赫猜想解的數量。

證實方法

(1)數學家哈代的偶數哥德巴赫猜想的漸近公式: 2*C(N)*N/[Log(N)]^2≥(1.32)N/[Log(N)]^2,C(N)=∏(1-1/(P-1)^2)*∏((P-1)/(P-2))≥0.66。設N=e^(2^m),e^(2^m)/(2^(m))^2=e^(2^m)/2^(2m),m≥1時,分子底大,指數大,兩者比值大於1,公式解≥1。

(2)哈代公式(1.32)N/[Log(N)]^2≈1.32(√N)/(Ln(√N))^2][(√x)/4]，即：公式解是√N的公式解數與(√N)/4的乘積。偶數平方根數有解,哈代公式就有解,公式解開始≥(√N)/4。

(3)哈代公式主體解轉換成連乘積形式,分子移項：2[N/Ln(N)]∏(1-1/(P-1)^2)[1/Ln(N)]≈(N/2)∏{(p-1)/p}∏{p*(p-2)/(p-1)^2}(2/2)∏{(p-1)/p}≈(N/2)∏{(p-2)/(p-1}∏{(p-1)/p},即:N(1/2)(1/2)(2/3)(3/4)(4/5)(5/6)(6/7)(9/10)(10/11)...[(p-2)/(p-1)][(p-1)/p]=[(√N)/4](3/3)(4/4)(5/5)(6/6)(9/7)(10/10)...(√N)/p。因為分母的素數p最大值不大於√N,所以N≥49,公式開始大於(√N)/4。

(4)哈代公式主體解轉換成冪指數差運算形式：(e^(10^n)/10^2≈{10^((10^n)/Log(10)-2n}。(e^10)/10^2≈10^{4.3-2}>10^4.3/2。N≥10^4.3,公式解開始大於√N。

N連續擴大平方數時哈代公式的主解：1.32*10^(2^m)/(Ln(2^m))^2≈1.32*10^(2^m)/[(2.3*2^m)^2]≈10^(2^m)/[(4^m)(5.3/1.32)]≈10^(2^m-0.6m-0.6),10^(2-1.2),10^(4-1.8),N≥10^4,公式解開始大於√N 。

(5)數學家王元的偶數哥德巴赫偶數猜想的上限公式：8*0.66*N/(logN)^2{1+O[log(log(N))/log(N)]}。N=e^(e^x),代入公式得：8*0.66*e^(e^x)/(e^x)^2{1+O[x/(e^x)]},{e^(e^x)/(e^x)^2}/{x/(e^x)}≈e^{(e^x)-x-log x} 》e^1.64。e^1-1-0≈1.7,(e^0.82)-0.82-(-0.198)≈1.64,(e^0.5)-0.5-(-0.69)≈1.8,{主項/O項}≥1,王元偶數哥解公式有正值底限解。{主項/O項}≥1,是奇數哥解的證明方法。

(6)哈代公式主體解： N/(LnN)^2≈{[(√N)/Log(√N)]^2}/4。(√N)/Log(√N)≈√N內素數個數，0.25*[π(√N)]^2的解≥1的條件,N≥第2個素數的平方數。

(7)哈代公式主體解： N/(LnN)^2≈{[N/(LnN)]^2}/N≈[(N)(0.5)(√N)/Log(√N)]^2}/N。 N/Log(N)≈N內素數個數，{[π(N)]^2}/N的解≥1的條件,N≥第2個素數的平方數。

(8)哈代公式主體解：e^(2^m)/2^(2m)≈2^(1.442*2^m)/2^(2m)≈2^(1.442*2^m-2m),前式是分子指數大於分母指數的數。後式在N≥e^2時,公式解≥1。函式y=x/(Lnx)^2在坐標系中的圖象,在x=e^2時有最低點y≈7.3/4≈1.8,e^e/e^2≈15.1/7.3≈2.1，e^1/1^2≈2.7。往右y增大,往左y也增大。 數學家的偶數哥德巴赫猜想的漸近公式,上界公式都有某N後解大於一的證實。

數除對數的算式及冪的指數差算式

設N=e^(2^m),得e^(2^m)/2^(2m),分子底大,指數大,兩者比值大於1。N=e^2時有底限正值解。

公式(1.32)N/[Log(N)]^2≈[(1.32)(√N)/(Log(√N))^2]*[(√x)/4]，√N有正值解,N就有正值解,且含因子(√N)/4。

*設N=e^(10^n),利用自然對數轉換成常用對數法,得到N/[Log(N)]^2≈[e^(10^n)]/10^(2n)≈10^{(10^n)/Log(10)-2n}。(e^10)/10^2≈10^{4.3-2}>10^4.3/2。N≥10^4.3,解開始大於√N。(e^100000)/100000^2≈10^{43429-10}》10^21714。設N=10^(2^m),1.32*10^(2^m)/(Log(2^m))^2≈1.32*10^(2^m)/[(2.3*2^m)^2]≈10^(2^m)/[(4^m)(5.3/1.32)]≈10^(2^m-0.6m-0.6),10^(2-1.2),10^(4-1.8),N≥10^4,含(1.32)參數的公式解開始大於√N 。

N/(Log(N))^2≈{[(√N)/Log(√N)]^2}/4。在(√N)/Log(√N)≥2時,解≥1。

N/(Log(N))^2≈{(N/(Log(N))^2}/N≈{[(√N)(0.5)(√N)/Log(√N)]^2}/N。在(√N)/Log(√N)≥2時,解≥1。

設N=e^(2^m)，N/(Log(N))^2≈e^(2^m)/2^(2m)≈2^(1.442*2^m)/2^(2m)≈2^(1.442*2^m-2m)。N=e^2時有底限正值解。函式y=x/(Log(x))^2在坐標系中的圖象,在x=e^2時有最低點e^2/2^2≈7.3/4≈1.8,e^e/e^2≈15.1/7.3≈2.1，e^1/1^2≈2.7。往右y增大,往左y也增大。重要成果：(N/[Log(N)]^2有正值解。自然對數的符號用log。

數學家王元的論文寫明：8*0.66*N/(logN)^2{1+O[log(log(N))/log(N)]}。設：N=e^(e^x),代入公式得：8*0.66*e^(e^x)/(e^x)^2{1+O[x/(e^x)]},{e^(e^x)/(e^x)^2}/{x/(e^x)}≈e^{(e^x)-x-log x} 》e^1.64。e^1-1-0≈1.7,(e^0.82)-0.82-(-0.198)≈1.64,(e^0.5)-0.5-(-0.69)≈1.8,{主項/O項}≥1,解有正值解。

數論基礎知識：N/Log(N)≈(N/2)∏{(p-1)/p}≈N(1/2)(2/3)(4/5)(6/7)...(P-1)/P,[2/Log(N)]∏(1-1/(P-1)^2)≈(2/2)∏[p-2)/(p-1)]≈(1/2)(3/4)(5/6)..(P-2)/(P-1),把兩式相乘,把√N放最大分母的分子,各分子移小一項得N/[Log(N)]^2≈[(√N)/4](9/7)(15/13)...[(√N)/P],知N/[Log(N)]^2是增函式,且含因子(√N)/4。

(四)哈代求解公式內涵的細節

哈代提供的公式(1.32)[N/(log(N))^2],若兩個大於一的數相乘自然大於一,有前一數大於1.32,需要通查N/(log(N))^2的數量。偶數哥德巴赫猜想的證明：需要通曉N/(log(N))^2≥1。

分析工具的升級：數用冪數代替,對數用指數代替,若底數不一樣,要用轉換係數。取N=e^(10^n)=10^((10^n)/log(10)}，(log(e^(10^n)))^2=(10^n)^2=10^(2n)，N/(log(N))^2=[e^(10^n)]/10^(2n)={10^(10^n)/log(10)}/{log(10)*(10^n)/log(10)}^2=10^{(10^n)/log(10)-2n}》10^{(10^n)/[2log(10)]},即：10^{0.434(10^n)-2n}》10^{0.217(10^n)}；(e^10)/10^2為10^(4.3-2)》10^2.1。(e^100)/100^2為10^(43.4-4)》10^21.7。(e^1000)/1000^2為10^(434-6)》10^217,...。指數減一半表示求平方根數的運算。發現“數大於10^4.3時，數/其自然對數平方數的商大於數的平方根數”。找到了數學家求解滿足偶數哥德巴赫猜想的素數的數量公式(1.32*商)的底限。

細節上的成功：冪數的指數差的運算式，是公比是10的等比數列的項減去公差是2的等差數列的項，其差數大於被減數的一半。表示偶數大於10^4.3時,滿足偶數哥德巴赫猜想的素數的數量大於偶數的平方根數。

簡單的說：取N=e^(2^n)，(log(N))^2=(log(e^(2^n))^2=(2^n)^2=2^(2n)，N/(log(N))^2={e^(2^n)}/2^(2n),N=e^2時有最低點N/(log(N))^2≈e^2/(2^2)≈7.39/4≈1.85,函式往右增大,往左也增大,例：e^3/3^2=20/9=2.23,e^e/(e^2)≈15.18/7.39≈2.05。e^(√2)/(√2^2)≈4.1/2≈2.05,e/1^2≈2.7,分子的底較大,指數也較大,分子的冪自然也較大,分母較小,N/(log(N))^2≥1。

2011年青島小魚山王新宇用冪的指數差運算發現了數學家求解滿足偶數哥德巴赫偶數猜想的素數的數量公式的底限。數大於10^4.3時，數/其自然對數平方數的商大於數的平方根數”。證實了數學家求解滿足偶數哥德巴赫猜想的素數的數量公式的底限大於一。N/(log(N))^2={e^(10^n)}/[(10^n)^2]={10^(10^n)/log(10)}/10^(2n)≈10^{0.43429(10^n)-2n} 》10^{0.2172(10^n)} ≥1。

誤差解決

陳景潤1978年的證明結果是：對於大偶數N，偶數表示成兩個素數之和的表法個數為2G(N)N/(logN)^2+O(loglogN/logN)，其3.9倍是上限數。其中：第一項是兩個式子相除，分子上是2乘以G(N)再乘以N，分母上是logN的二次方；注意這裡的logN是以自然對數e為底N的對數。第二項的大O(loglogN/logN)表示這個括弧數的絕對值小於或等於C乘以loglogN/logN。陳景潤的證明結果為對於偶數N，表示成兩個素數之和的變法個數和2G(N)N/(logN)^2是差不多的，但是有誤差，誤差是多少呢？這個誤差的絕對值(誤差有可能為正或為負)可以由(loglogN/logN)控制，小於或等於一個常數C乘以(loglogN/logN)。假如我們想證明“每個偶數都可以表示為兩個素數之和”，那么我們只需證明“這個偶數表示成兩個素數之和的表示法個數大於零就可以了”，也就是說只需要陳景潤的結果中2G(N)N/(logN)^2+O(loglogN/logN)大於零就可以了。換句話說只需要2G(N)N/(logN)^2大於O(loglogN/logN)就可以了，注意O(loglogN/logN)有可能是負數，而在理論中，我們必須假定其是負數。G(N)極限是0.66，如果您在紙上寫出(1.32)N/(logN)^2>C(loglogN/logN)，並且稍微變形就得到N大於e的e^x次方。 解析：N/(logN)^2>(loglog N/log N)，設N=e^(e^x),{e^(e^x)/(e^x)^2}/{x/(e^x)}≈e^{(e^x)-x-log x} 》e^1.64, 是正值解。參見4解：e^2-2-0.69≈4.69,e^1-1-0≈1.7,(e^0.82)-0.82-(-0.198)≈1.648,(e^0.5)-0.5-(-0.69)≈1.84, {主項/O項}≥1,N≥e^(10^1)≈10^4.34時,公式解是正數值解。N≤e^(10^1)≈10^4.34時,已用計算機驗證了公式解是正數值解。

數夠大時,“N/(logN)^m”與“N/(logN)^2”兩公式解都是解大於√N。e^(10^n)/(10^n)^m)≈10^{[(10^n)/2.3]-mn}》10^[(10^n)/4.6]。n=2，m≈43.4/4≈10.8時,有：10^43/[Ln(10^43)]^10 ≥10^21。n=3，m≈434/6≈72.3時，有：10^434/[Ln(10^434)]^72.3 ≥10^217。n=4，m=4342/8=504時,有：{10^4342/[Ln(10^4342)]^504}≥10^2171。讓參數C為{N/(logN)^2}/{N/(logN)^m},n=2,C可為10^(10-2)。n=3,C可為10^(72-3)。n=4,C可為10^(504-4)。C再大,也有對應n數。

因為滿足偶數哥德巴赫猜想的素數僅是素數數量中的部分數,上限解,下限解的差距不可能大於全體素數數量,用數學家偶數表為兩素數和的數量的上限解去減全素數數量就可作為確切的下限解數量。取N=e^(e^x),2∏(1-1/(P-1)^2)*N/[Log(N)]^2≥(1.32)e^(e^x)/e^(2x)≈e^{(e^x)-x-x+0.27},上限解與漸近解極限差距是x,下限解與漸近解極限差距是(x-0.27)。上下有差距都不影響漸近解在N夠大時為正數值解。

偶數公式

偶數哥德巴赫猜想解的數量公式是解該世界難題的關鍵。公式中有一個關鍵的參數為：P設為奇素數時,2∏[1-1/(P-1)^2]=2∏[(P^2-2P+1-1)/(P-1)^2]=2∏[P/(P-1)]∏[(P-2)/(P-1)]=2∏[P(P-2)/(P-1)^2]≈2(0.66)≈1.32。P設為奇素數時,有(x/2)(2/3)(4/5)(6/7)(10/11)..=x(1/2)∏[(P-1)/P]≈x/Ln(x)。(青島)王新宇發現：∏[(P-2)/(P-1)]≈1.32(1/2)∏[(P-1)/P]≈1.32/Ln(x)。上面兩公式的乘積竟是雙篩法計算孿生素數(或偶數哥德巴赫猜想下限解)數量的公式：x(1/2)∏[(P-1)/P]∏[(P-2)/(P-1)]={x/Ln(x)}{1.32/Ln(x)}=1.32{x/Ln^2(x)}=2∏[1-1/(P-1)^2]{x/Ln^2(x)}=現代解析數論採用的孿生素數(或偶數哥德巴赫猜想下限解)數量公式。王新宇發現的∏[(P-2)/(P-1)]≈1.32/Ln(x),與素數個數公式的乘積,使兩種計算數量的公式解近似相等。偶數哥德巴赫猜想近似解是把兩邊都添上∏[(Z-1)/(Z-2)]，仍近似相等。數學家愛用對數參數公式,愛好者看重連乘積公式。連乘積公式與對數參數公式可以互相轉換。且都有正值解。